Cho a,b,c > 0 thỏa a/b <1
CMR: a/b < \(\dfrac{a+c}{b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 7 2021
\(a+b+c=1=>\left\{{}\begin{matrix}1-a=b+c\\1-b=a+c\\1-c=a+b\\\end{matrix}\right.\)
\(=>A=\left(\dfrac{1}{a}-1\right)\left(\dfrac{1}{b}-1\right)\left(\dfrac{1}{c}-1\right)=\left(\dfrac{1-a}{a}\right)\left(\dfrac{1-b}{b}\right)\left(\dfrac{1-c}{c}\right)\)
\(=\left(\dfrac{b+c}{a}\right)\left(\dfrac{a+c}{b}\right)\left(\dfrac{a+b}{c}\right)\)
bbđt AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}.2\sqrt{ab}}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 7 2021
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\left(\dfrac{a+b+c}{a}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{b}-1\right)\left(\dfrac{a+b+c}{c}-1\right)\)
\(P=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge\dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
22 tháng 12 2015
bai nay dai lam nhung ban cu lam theo ncac buoc sau:
b1: lấy dữ liệu đầu bài để nhận với 1 số mà bằng được với cái phải chứng minh thế là ra
b2: nhân đa thức với đa thức(tự làm)
b3:ghép các phân thức đồng dạng với nhau.
b4:kết luận
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
LM
26 tháng 6 2018
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có:
\(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{a}\cdot\dfrac{b}{c}}=2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a}{b}}=2\)
Vì \(2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\ge2\) nên \(\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{c}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\) (đpcm)
23 tháng 2 2022
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\dfrac{ab+ac}{b^2+bc}\)
\(\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\dfrac{ba+bc}{b^2+bc}\)
Do \(ab=ba;ac< bc\) do \(\dfrac{a}{b}< 1\) hay \(a< b\)
\(\Rightarrow ab+ac< bc+ba\)
\(Vậy\) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\) \(\left(đpcm\right)\)
BĐT tương đương
\(\dfrac{a+c}{b+c}-\dfrac{a}{b}>0\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc-ab-ac}{b\left(b+c\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)}{b\left(b+c\right)}>0\)\(\Leftrightarrow b-a>0\Leftrightarrow b>a\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< 1\)(đúng vì GT)