CMR với mọi a,b,c:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 8 2020
Bài làm
a) Ta có: ( a - b + c )2 = [ a - ( b - c ) ]2
= a2 - 2a( b - c ) + ( b - c )2
= a2 - 2ab + 2ac + b2 - 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ac - 2ab - 2bc
Mik làm mấy lần rồi nhưng vẫn ra kết quả như vậy, bạn xem lại đề nhé.
b) Ta có: a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca
=> 2( a2 + b2 + c2 ) > 2( ab + bc + ca )
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 > 2ab + 2bc + 2ca
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ) > 0
=> ( a2 + b2 + c2 ) + ( a - b - c )2 > 0 ( Luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca ( đpcm ).
c) a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( mik nghĩ cái a ở vế phải phải là a thôi chứ không phỉa a^2. bạn kiểm tra đề nha )
=> 2a2 + 2b2 + 2 > 2a + 2b + 2ab
=> 2a2 + 2b2 + 2 - 2a - 2b - 2ab > 0
=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) > 0
=> ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 > 0 ( luôn đúng )
Vậy a2 + b2 + 1 > a + b + ab ( đpcm )
4 tháng 8 2020
\(1,\left(a-b+c\right)^2=\left[\left(a-b\right)+c\right]^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)c+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(2,..2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
3, Sửa đề : \(a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Ta có : \(2a^2+2b^2+2-2a-2b-2ab\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1\ge a+b+ab\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1
V
8
JN
27 tháng 1 2022
không cần đk là a,b,c là số thực cũng được @@
Sử dụng bất đẳng thức phụ x2+y2≥2xyx2+y2≥2xy
chứng minh : x2+y2≥2xy<=>(x−y)2≥0x2+y2≥2xy<=>(x−y)2≥0*đúng*
Áp dụng vào bài toán ta được :
2.LHS≥ab+bc+ca+ab+bc+ca=2(ab+bc+ca)2.LHS≥ab+bc+ca+ab+bc+ca=2(ab+bc+ca)
<=>LHS≥ab+bc+ca<=>LHS≥ab+bc+ca
Dấu = xảy ra <=>a=b=c
27 tháng 1 2022
\(a^2+b^2\ge ab+bc+ca.\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2020
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Nhân phá và rút gọn 2 vế:
\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)
Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2
27 tháng 4 2022
`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`
`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`
`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`
`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)
`=>` Đẳng thức được c/m
_________________________________________
`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`
`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`
`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`
`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)
`=>` Đẳng thức được c/m
4 tháng 11 2019
\(VT=\frac{a^2}{ab^2+abc+ac^2}+\frac{b^2}{c^2b+abc+a^2b}+\frac{c^2}{a^2c+abc+b^2c}\)
Áp dụng bđt Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b\right)+abc+ac\left(a+c\right)+abc+bc\left(b+c\right)+abc}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab\left(a+b+c\right)+ac\left(a+b+c\right)+bc\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{ab+bc+ac}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ca+c^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
HĐT này đúng với mọi x