Cho \(x,y>0\)
Chứng minh rằng \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)với mọi\(x,y\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
TA
19 tháng 5 2017
1/ Sửa đề: \(x+y+z=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)-2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(y-2\sqrt{yz}+z\right)+\left(z-2\sqrt{zx}+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\)
Với mọi x, y, z ta luôn có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2\ge0;\) \(\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0;\)
\(\Rightarrow\) \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2\ge0\)
Do đó dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2=0\\\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2=0\\\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = y = z
3/ Đây là BĐT Cô-si cho 2 số dương a và b, ta biến đổi tương đương để chứng minh
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
2/ Vì x > y và xy = 1 áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{1}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{1}{x-y}}=2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\frac{1}{x-y}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)
14 tháng 1 2019
a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)
Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1
b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)
Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
28 tháng 4 2019
@Trần Thùy Linh nói đúng đề rồi nhé
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số không âm :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=x=1\)
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
MT
2
9 tháng 6 2015
áp dụng bđt cosi với 2 số x,y>0 ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)=> đpcm
12 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{2}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)+\frac{3}{2xy}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{3}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{6}{\left(x+y\right)^2}=\frac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y>0\)
Vậy \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{10}{\left(x+y\right)^2}\) với \(\forall x;y>0\)
2 tháng 10 2019
Có: \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta được:
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}\\ \Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
2 tháng 10 2019
Vì : \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
Lại có :\(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}\left(x-y\right)\Rightarrow x^2+y^2\ge2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y+\left(\sqrt{2}\right)^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-\sqrt{2}\right)^2\ge0\)
=> BĐT đã cho luôn đúng
Dấu '' = '' xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-\sqrt{2}=0\\xy=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=\sqrt{2}\\x\left(-y\right)=-1\end{matrix}\right.\)
=> x = -y là nghiệm của phương trình
2 tháng 8 2020
\(x>y\),\(xy=1\)
Ta có:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt
29 tháng 8 2019
Thay giá trị x = y = z vô thì thấy VT > 2 nên nghi ngờ đề sai. B xem lại
Cosi 2 số dương \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\frac{y}{x}}=2\)
Dấu ''='' xảy ra <=> x = y