Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;1;0\right),B\left(0;-1;2\right).$ Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm O, A và cùng cách B một khoảng bằng $\sqrt{3}.$ Vecto nào trong các vecto dưới đây là một vecto pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó?  

A.  $\stackrel{\to }{n_1}=\left(1;-1;-1\right).$

B.  $\stackrel{\to }{n_2}=\left(1;-1;-3\right).$

C.  $\stackrel{\to }{n_3}=\left(1;-1;5\right).$

D.  $\stackrel{\to }{n_4}=\left(1;-1;-5\right).$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D.

Phương pháp:

Gọi n → a ; b ; c ,   n → ≠ 0 →  là một VTPT của α .  Viết phương trình mặt phẳng  α .

Sử dụng các giả thiết O ∈ α ;   A ∈ α ;   d B ; α = 3  lập hệ phương trình tìm a, b, c.

Cách giải:

Gọi n → a ; b ; c ,   n → ≠ 0 →  là một VTPT của  α .

O 0 ; 0 ; 0 ∈ α ⇒ α : a x + b y + c z = 0  

A 1 ; 1 ; 0 ∈ α ⇒ a + b = 0 ⇒ b = − a ⇒ α : a x − a y + c z = 0  

d B ; α = 3 ⇔ a .0 − a . − 1 + 2 c 2 a 2 + c 2 = 3 ⇔ a + 2 c 2 a 2 + c 2 = 3  

  ⇔ a + 2 c 2 = 3 2 a 2 + c 2 ⇔ a 2 + 4 a c + 4 c 2 = 6 a 2 + 3 c 2 ⇔ 5 a 2 − 4 a c − c 2 = 0

Cho

a = 1 ⇒ c 2 + 4 c − 5 = 0 ⇔ c = 1 c = − 5 ⇒ n → 1 ; − 1 ; 1

hoặc n → 1 ; − 1 ; − 5 .