Question

[Pham Trong Bach]

Cho bất phương trình ${\log }_{3a}11+\left({\log }_{\frac{1}{7}}\left(\sqrt{x^2+3ax+10}+4\right)\right).{\log }_{3a}\left(x^2+3ax+12\right)\ge 0.$ Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

A. (1;2) 

B. (-1;0)

C.  $\left(2;+\infty \right)$

D. (0;1) 

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Đặt m = 3 a  ta có  log m 11 + log 1 7 x 2 + m x + 10 + 4 . log m x 2 + m x + 12 ≥ 0.

Dk: m > 0 , m ≠ 1 , x 2 + m x + 10 ≥ 0  

Bpt đã cho tương đương với  1 − log 7 x 2 + m x + 10 + 4 . log 11 x 2 + m x + 12 log m 11 ≥ 0 *

Đặt u = x 2 + m x + 10 , u ≥ 0  

+ với 0 < m < 1 : * ⇔ f u = log 7 u + 4 . log 11 u + 2 ≥ 1  

f 9 = 1   và f u  là hàm số đồng biến nên ta có

f u ≥ f 9 ⇔ x 2 + m x + 10 ≥ 9 ⇔ x 2 + m x + 1 ≥ 0  

Vì phương trình trên có Δ = m 2 − 4 < 0  với 0 < m < 1  nên phương trình vô nghiệm

+Với m > 1 : f u ≤ 1 = f 9 ⇔ 0 ≤ u ≤ 9 ⇔ 0 ≤ x 2 + m x + 10 ≤ 9 ⇔ x 2 + m x + 10 ≥ 0 1 x 2 + m x + 1 ≤ 0 2  

Xét phương trình x 2 + m x + 1 ≤ 0  có  Δ = m 2 − 4 < 0

Nếu m > 2 ⇒ Δ > 0 ⇒ p t  vô nghiệm 1 , 2 ⇒  bpt vô nghiệm

Nếu m = 2 ⇒ p t 2  trên có 2 nghiệm thỏa mãn x = − 1 ⇒  bpt có nhiều hơn 1 nghiệm 

Nếu m = 2 ⇒ p t 2  có nghiệm duy nhất  x = − 1 ⇒  bpt có nghiệm duy nhất   x = − 1

Vậy gtct của m là m = 2 ⇒ a = 3 2