Question

[Pham Trong Bach]

Phương trình: x − 1 3 + m m + 1 = 2 x 2 − 1 4  có nghiệm x khi:

A. 0 ≤ m ≤ 1 3

B.  − 1 < m ≤ 1 3

C.  m ≥ 1 3

D.  − 1 ≤ m ≤ 1 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của phương trình cho x + 1 > 0 và đặt ẩn phụ t = x − 1 4 x + 1 4 .

- Từ điều kiện x ≥ 1 ta tìm được điều kiện của t là 0 ≤ t < 1 .

- Từ phương trình ẩn t, rút − m = f t và xét hàm f t trên 0 ; 1 , từ đó suy ra điều kiện của

Cách giải:

Phương trình: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 x 2 − 1 4 (Điều kiện: x ≥ 1 )

3 x − 1 + m x + 1 = 2 x − 1 4 . x + 1 4 *

Ta có với x ≥ 1 Chia hai vế phương trình (*) cho  ta có:  3 x − 1 x + 1 + m = 2 x − 1 4 x + 1 4 1

Đặt  t = x − 1 4 x + 1 4 ⇒ t 4 = x − 1 x + 1

Với x ≥ 1 thì hàm số  0 ≤ x − 1 x + 1 = 1 − 2 x + 1 < 1 ⇒ 0 ≤ t 4 < 1 ⇔ 0 ≤ t < 1

Phương trình (1) trở thành:  3 t 2 − 2 t + m = 0 2

Phương trình (*) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm:  0 ≤ t < 1

Xét hàm y = f t = 3 t 2 − 2 t trên 0 ; 1 ta có:

f ' t = 6 t − 2 = 0 ⇔ t = 1 3 ∈ 0 ; 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình 3 t 2 − 2 t + m = 0 có nghiệm trong 0 ; 1 thì đường thẳng y = − m phải cắt đồ thị hàm số y = f t = 3 t 2 − 2 t tại ít nhất 1 điểm.

Do đó  − 1 3 ≤ − m < 1 ⇔ − 1 < m ≤ 1 3

Vậy − 1 < m ≤ 1 3 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Đáp án B.

Chú ý khi giải:

- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện sẽ dẫn đến kết quả sai) t t 0 

- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai. 1 0 m 3  