Question

[Pham Trong Bach]

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn $\left[-2017;2017\right]$ để phương trình   $\left(x^2-1\right){\log }^2\left(x^2+1\right)-m\sqrt{2\left(x^2-1\right)}.\log \left(x^2+1\right)$ $+m+4=0$ có đúng hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $1\le \left|x_1\right|\le \left|x_2\right|\le 3$ 

A. 4017

B. 4028

C. 4012

D. 4003.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

Điều kiện  x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 1 x ≥ 1 .

Phương trình đã cho tương đương với:

2 x 2 − 1 log 2 x 2 + 1 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0  

⇔ 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 2 − 2 m 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 + 2 m + 8 = 0 *

Đặt t = x 2 ≥ 1 , theo bài ra ta có 

1 ≤ x 1 < x 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x 1 2 < x 2 2 ≤ 9 ⇒ t ∈ 1 ; 9 .

Xét hàm số f t = 2 − t − 1 . log t + 1  trên đoạn 1 ; 9 .

Ta có f ' t = log t + 1 2 t − 1 + 2 t − 1 t + 1 . ln 10 > 0, ∀ ∈ 0 ; 9 ⇒  Hàm số f t  đồng biến trên đoạn 1 ; 9 . Khi đó f 1 ≤ f t ≤ 9  hay 0 ≤ f t ≤ 4 .

Đặt u = 2 x 2 − 1 . log x 2 + 1 ⇒ u ∈ 0 ; 4 . Khi đó phương trình (*) trở thành u 2 − 2 m . u + 2 m + 8 = 0 1 .

Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình (1). Với u ≠ 1  thì phương trình (1) tương đương với 

u 2 + 8 = 2 m u − 1 ⇔ 2 m = u 2 + 8 u − 1 2

Xét hàm số g u = u 2 + 8 u − 1  trên đoạn 0 ; 4 \ 1 .

Ta có g ' u = u 2 − 2 u − 8 u − 1 2 ; g ' u = 0 ⇔ u = 4 u = − 2 . Mà u ∈ 0 ; 4 \ 1  nên u=4.

Mặt khác, có g 0 = − 8 ; g 4 = 8 ; lim x → 1 − g u = − ∞ ; lim x → 1 + g u = + ∞ .

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán <=>Phương trình (2) có nghiệm duy nhất trên đoạn 0 ; 4 \ 1  . Suy ra  2 m ≥ 8 2 m ≤ − 8 ⇔ m ≥ 4 m ≤ − 4 .

Mặt khác m ∈ ℤ , m ∈ − 2017 ; 2017  nên suy ra 4 ≤ m ≤ 2017 − 2017 ≤ m ≤ − 4 .  

Vậy có tất cả 2017 − 4 + 1 + − 4 + 2017 + 1 = 4028  giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.