Question

[Pham Trong Bach]

Cho z 1 , z 2  là hai số phức thảo mãn 2 z − i = 2 + i z , biết z 1 − z 2 = 1 . Tính giá trị của biểu thức  P = z 1 + z 2

A. P = 3 2

B. P = 2

C. P = 2 2

D. P = 3

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Giả sử z = x + y i , x , y ∈ ℝ . Từ giả thiết ta có  2 x + y i − i = 2 + i x + y i

⇔ 2 x + 2 y − 1 i = 2 − y + x i ⇔ 4 x 2 + 2 y − 1 2 = y − 2 2 + x 2 ⇔ x 2 + y 2 = 1

Suy ra tập hợp các điểm A, B biểu diễn hai số phức z 1 , z 2  là đường tròn tâm O 0 ; 0 , bán kính R = 1 = O A = O B .

Giả sử z 1 = a 1 + b 1 i , z 2 = a 2 + b 2 i , a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ ℝ . Khi đó A a 1 ; b 1 , B a 2 ; b 2 .

Từ giả thiết z 1 − z 2 = 1  ta được:

a 1 − a 2 + b 1 − b 2 i = 1 ⇔ a 1 − a 2 2 + b 1 − b 2 2 = 1 ⇔ A B = 1

Từ đó O A = O B = A B ⇒ Δ O A B  đều cạnh bằng 1.

Gọi M  là trung điểm AB thì M a 1 + b 1 2 ; a 2 + b 2 2  và O M = A B 3 2 = 3 2 .

Khi đó 

P = z 1 + z 2 = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 i = a 1 + a 2 2 + b 1 + b 2 2

= 2 a 1 + a 2 2 2 + b 1 + b 2 2 2 = 2 O M = 2. 3 2 = 3