Question

[Pham Trong Bach]

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình H₁, H₂ được xác định như sau:

$H_1=\left\{M\left(x;y\right)|\log \left(1+x^2+y^2\right)\le 1+\log \left(x+y\right)\right\}$

$H_2=\left\{M\left(x;y\right)|\log \left(2+x^2+y^2\right)\le 2+\log \left(x+y\right)\right\}$

Gọi S₁, S₂ lần lượt là diện tích của các hình H₁, H₂. Tính tỉ số  $\frac{S_1}{S_2}$

A. 99

B. 101

C. 102

D. 100

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C

Điều kiện x + y > 0

Ta có

log 1 + x 2 + y 2 ≤ 1 + log x + y = log 10 x + y

⇔ 1 + x 2 + y 2 ≤ 10 x + y

⇔ x - 5 2 + y - 5 2 ≤ 49

Xét riêng  x - 5 2 + y - 5 2 ≤ 49  là hình tròn tâm I(5;5) bán kính R=7, diện tích H₁ là diện tích của hình tròn tâm I(5;5) bán kinh R=7, nằm phía trên đường thẳng ∆ : x + y = 0

V ì   d I , ∆ = 5 2 > R ⇒ S 1 = 49 π

Tương tự

log 2 + x 2 + y 2 ≤ 2 + log x + y = log 100 x + y

⇔ 2 + x 2 + y 2 ≤ 100 x + y

⇔ x - 50 2 + y - 50 2 ≤ 4998 π

Xét riêng  x - 50 2 + y - 50 2 ≤ 4998 π  là hình tròn tâm I^’(50;50) bán kinh R = 7 102  diện tích H₂ là diện tích của hình tròn tâm I^’(50;50) bán kính R = 7 102 nằm phía trên đường thẳng  ∆ : x + y = 0

V ì   d ' I ' ; ∆ = 50 2 > R ' ⇒ S 2 = 4998 π

⇒ S 2 S 1 = 102 .