C/M : nếu \(a^2+b^2=c^2\) thì abc chia hết cho 60
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
Z
Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 = c^2 thì abc chia hết cho 60
2
29 tháng 8 2017
Giả sử a,b,c đều không chia hết cho 3 thì phải chia 3 dư 1
thay vào chia 3 dư 2 còn
chia 3 dư 1 (loại)
Do đó a,b,c phải tồn tại một số chia hết cho 3 ,
Lại chúng minh tương tự để đc một trong 3 số chia hết cho 4 và 5
Rồi suy ra abc chia hêt cho 3.4.5 = 60
16 tháng 1 2019
Giả sử a,b,c đều không chia hết cho 3 thì phải chia 3 dư 1
thay vào chia 3 dư 2 còn chia 3 dư 1 (loại)
Do đó a,b,c phải tồn tại một số chia hết cho 3 ,
Lại chúng minh tương tự để đc một trong 3 số chia hết cho 4 và 5
suy ra abc chia hêt cho 3.4.5 = 60
NT
0
AT
27 tháng 6 2017
+ ta chứng minh a,b,c có ít nhất một số chia hết cho 3
giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3
=> a^2 = dư 1 (chia cho 3) và b^2 = dư 1(chia cho 3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoạc chia 3 dư 1)
=> a^2 + b^2 = dư 2 ( chia 3) nhưng c^2 = dư 1 (chia 3) => mâu thuẫn
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3
+ tương tự,có ít nhất 1 số chia hết cho 4,vì giả sử cả 3 số a,b,c đều không chia hết cho 4
=> a^2 = dư 1(chia 4) và b^2 = dư 1(chia 4) => a^2 + b^2 = dư 2(chia 4) nhưng c^2 = dư 1 ( chia 4) => mâu thuẫn
vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4
+ tương tự a^2 = 1 dư 1 (chia 5) hoạc a^2 = dư -1 (chia 5) hoạc a^2= dư 4 (chia 5) ;
và -1 + 1 = 0 , 1 + 4 = 5 , -1 + 4 = 3
=> phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5
Ở đây không nhất thiết cứ phải mỗi số phải chia hết cho 3,4,5 ,, có thể có số vừa chia hết ch0 3,4 ; cho 4,5 hoặc cho 5,3
Vậy abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60..
=> ĐPCM
TP
29 tháng 6 2018
giả thiết a, b, c nguyên; a² = b²+c²
* ta biết số chính phương: n² khi chia 3 dư 0 hoặc dư 1
từ a² = b²+c², thấy b² và c² khi chia 3 không thể cùng dư 1
vì nếu chúng cùng dư 1 thì a² = b²+c² chia 3 dư 2 vô lí
=> hoặc b², hoặc c² có ít nhất 1 số chia 3 dư 0 => b hoặc c chia hết cho 3
=> abc chia hết cho 3 (1)
* ta biết số n² chia 4 dư 0 hoặc dư 1
nếu n chẳn => n² chia 4 dư 0
nếu n lẻ: n = 2k+1 => (2k+1)² = 4k²+4k+1 chia 4 dư 1
từ a² = b²+c² => b² và c² khi chia 4 không thể cùng dư 1
vì nếu b² và c² chia 4 đều dư 1 => b²+c² = a² chia 4 dư 2 trái lí luận trên
=> hoặc b² hoặc c² (hoặc cả 2) chia 4 dư 0, chẳn hạn b² chia 4 dư 0
+ nếu c² chia 4 dư 0 => b và c đều chia hết cho 2 => abc chia hết cho 4
+ nếu c² chia 4 dư 1 => a² = b²+c² chia 4 dư 1 => a, c là 2 số lẻ
a = 2n+1 ; c = 2m+1; có: b² = a²-c² = (a-c)(a+c) = (2n-2m)(2n+2m+2)
=> b² = 4(n-m)(n+m+1) (**)
ta lại thấy nếu m, n cùng chẳn hoặc cùng lẻ => n-m chẳn
nếu m, n có 1 chẳn, 1 lẻ => m+n+1 chẳn
=> (m-n)(m+n+1) chia hết cho 2 => b² = 4(m-n)(m+n+1) chia hết cho 8
=> b chia hết cho 4 => abc chia hết cho 4
Tóm lại abc luôn chia hết cho 4 (2)
* lập luận tương tự thì thấy số n² chia cho 5 chỉ có thể dư 0, 1, 4
+ b² và c² chia 5 không thể cùng dư 1 hoặc 4
vì nếu cùng dư 1 => b²+c² = a² chia 5 dư 2
nếu cùng dư là 4 thì b²+c² = a² chia 5 dư 3
đều vô lí do a² chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4
+ b² chia 5 dư 1 và c² chia 5 dư 4 (hoặc ngược lại)
=> b²+c² = a² chia 5 dư 0 => a chia hết cho 5 (do 5 nguyên tố)
+ nếu b² hoặc c² chia 5 dư 0 => b (hoặc c ) chia hết cho 5
Tóm lại vẫn có abc chia hết cho 5 (3)
Từ (1), (2, (3) => abc chia hết cho 3, 4, 5
=> abc chia hết cho [3,4,5] = 60
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta biết rằng một số chính phương choa $3$ có dư $0$ hoặc $1$
Giả sử trong ba số $a,b,c$ không có số nào chia hết cho $3$
Khi đó: \(a^2\equiv b^2\equiv c^2\equiv 1\pmod 3\)
Mà \(a^2+b^2=c^2\Rightarrow c^2=a^2+b^2\equiv 1+1\equiv 2\pmod 3\) (mâu thuẫn)
Do đó luôn tồn tại ít nhất một trong ba số chia hết cho $3$
\(\Rightarrow abc\vdots 3\)
Mặt khác: Một số chính phương khi chia $5$ có thể dư $0,1$ hoặc $4$
Nếu $a,b$ có ít nhất một số chia hết cho $5$ thì $abc$ chia hết cho $5$
Nếu $a,b$ không có số nào chia hết cho $5$ thì \(a^2,b^2\equiv 1,4\pmod 5\)
Xét các TH sau:
+) \(a^2\equiv 1, b^2\equiv 4\pmod 5\) hoặc ngược lại
\(\Rightarrow c^2=a^2+b^2\equiv 5\equiv 0\pmod 5\Rightarrow c^2\vdots 5\Rightarrow c\vdots 5\)
\(\Rightarrow abc\vdots 5\)
+) \(a^2\equiv b^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow c^2\equiv 2\not\equiv 0,1,4\pmod 5\) (vô lý)
+) \(a^2\equiv b^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow c^2\equiv 8\equiv 3\not\equiv 0,1,4\pmod 5\) (vô lý)
Vậy \(abc\vdots 5\)
Lại xét:
\(a^2+b^2=c^2\Rightarrow (a+b)^2-2ab=c^2\)
\(\Leftrightarrow 2ab=(a+b-c)(a+b+c)\)
Vì $a+b-c,a+b+c$ có cùng tính chẵn lẻ mà tích của chúng lại là số chẵn nên \(a+b-c, a+b+c\) chẵn
\(\Rightarrow 2ab=(a+b-c)(a+b+c)\vdots 4\Rightarrow ab\vdots 2\)
Đến đây ta thấy:
-Nếu \(a,b\vdots 2\Rightarrow ab\vdots 4\rightarrow abc\vdots 4\)
-Nếu $a,b$ có một số chẵn một số lẻ. Không mất tổng quát giả sử $a$ chẵn $b$ lẻ
\(a^2=c^2-b^2\)
$c$ chẵn thì $ac$ chia hết cho $4$ suy ra $abc$ chia hết cho $4$
$c$ lẻ:
Xét số chính phương lẻ có dạng
\(x^2=(4k\pm 1)^2\Rightarrow x^2-1=16k^2\pm 8k+1-1=16k^2\pm 8k\vdots 8\)
Do đó ta suy ra scp lẻ luôn chia 8 dư 1
\(\Rightarrow b^2\equiv c^2\equiv 1\pmod 8\Rightarrow a^2=c^2-b^2\vdots 8\)
\(\Rightarrow a\vdots 4\Rightarrow abc\vdots 4\)
Vậy trong mọi TH có thể $abc$ đều chia hết cho $4$
Ta thấy $abc$ chia hết cho $3,4,5$ mà $3,4,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $abc$ chia hết cho $60$
10 tháng 8 2016
ta chứng minh a,b,c có ít nhất một số chia hết cho 3
giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3
=> a^2 = 1 (mod3) và b^2 = 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoạc chia 3 dư 1)
=> a^2 + b^2 = 2 (mod3) nhưng c^2 = 1 (mod3) => mâu thuẫn
Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3
+ tương tự,có ít nhất 1 số chia hết cho 4,vì giả sử cả 3 số a,b,c đều không chia hết cho 4
=> a^2 = 1 (mod4) và b^2 = 1 (mod4) => a^2 + b^2 = 2 (mod 4) nhưng c^2 = 1 (mod 4) => mâu thuẫn
vậy có ít nhất 1 số cgia hết cho 4
+ tương tự a^2 = 1 (mod 5) hoạc a^2 = -1 (mod 5) hoạc a^2 = 4 (mod 5)
và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3
=> phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5
Vậy abc chia hết cho BCNN(3,4,5) = 60 hay abc chia hết 60
+ Nếu a,b,c không chia hết cho 3=> a2,b2,c2 : 3 dư 1
khi đó a2 +b2 = BS3 +2 ; c2= BS3 +1. vô lý => a hoặc b hoặc c chia hết cho 3 (1)
+ Nếu a,b,c không chia hết cho 5=> a2,b2,c2 : 5 dư 1,4
khi đó a2 +b2 : 5dư 0,2,3 ; c2:5 dư 1,4. vô lý => a hoặc b hoặc c chia hết cho 5 (2)
+ Nếu a,b,c không chia hết cho 4=> a2,b2,c2 : 8 dư 1,4
khi đó a2 +b2 : 8dư 0,2,5 ; c2:5 dư 1,4. vô lý => a hoặc b hoặc c chia hết cho 4 (3)
Từ (1) (2) và (3) => abc chia hết cho 60