Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SG
1
DT
1 tháng 4 2017
Phương pháp đổi biến số
Ta biết rằng nếu ∫f(x)dx=F(x)+C thì ∫f(t)dt=F(t)+C.
Từ đó ta có phương pháp để tìm nguyên hàm của những hàm số dạng g(x)=f(u(x))u′(x) bằng cách đặt t=u(x).
Nội dung phương pháp đổi biến số tính: ∫g(x)dx=∫f(u(x))u′(x)dx
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx (lấy đạo hàm hai vế)
⇒∫g(x)dx=∫f(t)dt=F(t)+C
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin3xcosx
Phân tích: Ta thấy f(x)=sin3xcosx=(sinx)3(sinx)′ nên ta có thể đặt t=sinx.
Giải
t=sinx⇒dt=cosxdx
⇒∫sin3xcosxdx=∫t3dt=t44+C=sin4x4+C (C∈R)
Ví dụ 2: Tính ∫xx2+1−−−−−√dx
Phân tích: xx2+1−−−−−√=(x2+1)12122x=12(x2+1)12(x2+1)′
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
∫xx2+1−−−−−√dx=∫(x2+1)12122xdx=12∫t12dt=t323+C
=(x2+1)323+C=(x2+1)x2+1√3+C (C∈R)
Lưu ý: Ta có thể giải ví dụ 2 như sau:
t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒2tdt=2xdx⇒tdt=xdx
⇒∫xx2+1−−−−−√dx=∫x2+1−−−−−√.xdx=∫t.tdt=∫t2dt
=t33+C=(x2+1√)33+C=(x2+1)x2+1√3+C
Nguyên hàm của một số hàm số hợp đơn giản
1) ∫kdx=kx+C
2) ∫(ax+b)αdx=1a(ax+b)α+1α+1+C(α≠1)
3) ∫dxax+b=1aln|ax+b|+C(x≠0)
4) ∫eax+bdx=1aeax+b+C
5) ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C
6) ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C
7) ∫1cos2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+C
8) ∫1sin2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+C . Định nghĩa
VÍ DỤ 1. Cho {F(x)=x3f(x)=3x2
VÍ DỤ 2. Cho {F(x)=cosxf(x)=−sinx
Ta thấy ở hai ví dụ trên đều có F’(x) = f(x). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x). Vì với là một hằng số bất kỳ, ta có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) nên nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x). Ta gọi F(x) + C, ( C là hằng số) là Họ nguyên hàm của f(x).
Ký hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C
VÍ DỤ:
∫x4dx=15x5+C;∫cosxdx=sinx+C
PT
1
CM
4 tháng 12 2018
• Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] , F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x)
• Phương pháp tính tích phân
a) Đổi biến số:
Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = βvà a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:
b) Tích phân từng phần
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:
SG
2
DT
1 tháng 4 2017
- Loại 1: Đặt t=u(x)
- Loại 2: Đặt x=u(t)
Phương pháp đổi biến loại 1
Bài toán: Tính tích phân dạng: I=∫abf(u(x))(u(x))′dx
Phương pháp:
Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx
Đổi cận:
⇒I=∫u(a)u(b)f(t)dt
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a) I=∫01ex2+1xdx
Phân tích: Ta thấy có thể viết lại: I=∫01ex2+1xdx=∫01ex2+112.2xdx=12∫01ex2+1.2xdx
Trong đó 2x là đạo hàm của x2+1 nên ta có thể đặt t=x2+1.
Giải
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
Đổi cận:
⇒I=12∫12etdt=12et∣∣∣21=12(e2−e)
b) J=∫01x3x2+1−−−−−√dx
Đặt t=x2+1−−−−−√⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1⇒xdx=tdt
Đổi cận:
⇒J=∫01x2.x2+1−−−−−√.xdx=∫12√(t2−1).t.tdt=∫12√(t4−t2)dt
=(t55−t33)∣∣∣2–√1=22√+215
Một số bài tập áp dụng
1) J1 = ∫12xex2dx 2) J2 = ∫1e1+lnx√xdx
3) J3 = ∫01x3(x4−1)5dx 4) J4 = ∫024−x2−−−−−√.xdx
5) J5 = ∫0π/2cosx(1+sinx)4dx
Phương pháp đổi biến loại 2
Trong một số trường hợp đặt biệt, ta sẽ đổi biến bằng cách đặt x=u(t) để chuyển từ biến x về biến t. Một số trường hợp mà ta thường gặp có thể áp dụng phương pháp này:
1) Hàm số có chứa a2−x2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π).
2) Hàm số có chứa x2−a2−−−−−−√: đặt x=|a|sint với (−π2≤t≤π2;t≠0) hoặc x=|a|cost với (0≤t≤π;t≠π2).
3) Hàm số có chứa a2+x2: đặt x=|a|tant với (−π2≤t≤π2) hoặc x=|a|cott với (0≤t≤π).
Ví dụ 3: Tình các tích phân sau:
a) I=∫024−x2−−−−−√dx
Giải
Đặt x=2sint (−π2≤t≤π2)
⇒dx=2costdt
Đổi cận:
⇒I=∫0π24−4sin2t−−−−−−−−√.2costdt=∫0π24(1−sin2t)−−−−−−−−−−√.2costdt
=∫0π24cos2t−−−−−√.2costdt=∫0π24cos2tdt=∫0π22(1+cos2t)dt
=2(t+12sin2t)∣∣∣π20=π
b) J=∫01x1+x2dx
Giải
Đặt x=tant⇒dx=1cos2tdt (−π2≤t≤π2)
Đổi cận:
⇒J=∫0π4tant1+tan2t(1+tan2t)dt=∫0π4tantdt=∫0π4sintcostdt
=−∫0π4(cost)′costdt=−ln(cost)∣∣∣π40=−ln2√2
Một số bài tập áp dụng:
1) ∫01dx1+x2 2) ∫02√2−x2−−−−−√dx 3) ∫2√2dxxx2−1√
4) ∫123√2dx1−x2√ 5) ∫13√9+3x2√dxx2
1 tháng 4 2017
Định nghĩa : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đó hiệu F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x).
Các phương pháp giải tích phân :
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Cách đặt: Nhất lốc, nhì đa, tam lượng, tứ mũ (hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)
PT
1
CM
22 tháng 12 2017
+ Phương pháp nguyên hàm từng phần:
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) - ∫v(x).u’(x)dx
Hay viết gọn: ∫udv = uv - ∫vdv.
PT
1
CM
1 tháng 7 2018
a. Định nghĩa 1 : (Hàm số sin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực sinx.
sin: R -> R
x -> y = sinx.
Hàm số y = sinx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1].
b.Định nghĩa 2 : (Hàm số cosin): Quy tắc tương ứng với mỗi số thực x với số thực cosx.
cos : R -> R
x -> y = cosx.
Hàm số y = cosx có tập xác định là R, tập giá trị là đoạn [-1;1]
c. Định nghĩa 3: (Hàm số tang): Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức
tan : D -> R
x -> y = tanx.
Hàm số y = tanx có tập xác định: 
Tập giá trị của hàm số y = tanx là R.
d. Định nghĩa 4 : (Hàm số cotang): là hàm số được xác định bởi công thức
cot : D -> R
x -> y = cotx.
Hàm số y = cotx có tập xác định D = {x ∈ R \ x ≠ kπ, k ∈ Z}. Tập giá trị của hàm số y = cotx là tập R.
PT
1
CM
23 tháng 5 2019
Hàm số cho bằng bảng
Ví dụ:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
- Hàm số cho bằng công thức:
Ví dụ:
Nguyên hàm
Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Phương pháp tính nguyên hàm
* Đổi biến số: