cho các số thực x,y thỏa mãn \(x^2+y^2=1+xy\) . Tìm GTLN và GTNN của \(P=x^4+y^4-x^2y^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
23 tháng 2 2020
Làm phần min trước, Max để mai:
Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).
*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)
*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:
\(\ge0\)
P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D
YN
23 tháng 11 2021
Answer:
3.
\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)
\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)
\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)
\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)
\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)
13 tháng 11 2018
1
do x,y bình đẳng như nhau giả sử \(x\ge y\)
Ta có:x2018+y2018=2
mà \(x^{2018}\ge0,y^{2018}\ge0\)
\(\Rightarrow x^{2018}+y^{2018}\ge0\)
Do \(x^{2018}+y^{2018}=2=1+1=2+0\)(do x lớn hơn hoặc bằng y)
Với \(x^{2018}+y^{2018}=1+1\)\(\Rightarrow x^{2018}=y^{2018}=1\)
\(\Rightarrow x=y=1;x=y=-1;x=1,y=-1\)(do x lớn hơn hoặc bằng y)
\(\Rightarrow Q=1+1=2\)\(\left(1\right)\)
Với \(x^{2018}+y^{2018}=2+0\)\(\Rightarrow x^{2018}=2\)(vô lý vỳ x,y thuộc Z)
Vậy........................
S
5
30 tháng 12 2019
Tìm min :
Ta có : \(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\le4+\frac{x^2+y^2}{2}\) ( vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{A}{2}\le4\)
\(\Leftrightarrow A\le8\)
30 tháng 12 2019
Tìm max
\(x^2+y^2-xy=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=4+xy\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2\right)=8+\left(x+y\right)^2\ge8\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{8}{3}\)
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
6 tháng 12 2023
Ta thấy
72
=
2
3
.
3
2
72=2
3
.3
2
nên a, b có dạng
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{
a=2
x
3
y
b=2
z
.3
t
với
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2.
Theo đề bài, ta có
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2
x
.3
y
+2
z
.3
t
=42
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2
x−1
.3
y−1
+2
z−1
3
t−1
=7 (*), do đó
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1
TH1:
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+3.2
z−1
=7
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1
Vậy
{
�
=
24
�
=
18
{
a=24
b=18
(nhận)
TH2: KMTQ thì giả sử
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+2.3
t−1
=7, điều này là vô lí.
Vậy
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.
Lời giải:
$P=x^4+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2$
$=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1$
$=-2t^2+2t+1$ (đặt $t=xy$)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
$1+xy-2xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow xy\leq 1$
$1+xy+2xy=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\geq 0$
$\Rightarrow xy\geq \frac{-1}{3}$
Vậy, ta cần tìm min, max $P=-2t^2+2t+1$ với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$
Ta thấy:
$P=\frac{3}{2}-2(t^2-t+\frac{1}{4})=\frac{3}{2}-2(t-\frac{1}{2})^2\leq \frac{3}{2}$ với mọi $-\frac{1}{3}\leq t\leq 1$
Do đó $P_{\max}=\frac{3}{2}$
Mặt khác:
$P=-2t^2+2t+1=-\frac{2}{3}t(3t+1)+\frac{8}{9}(3t+1)+\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{9}(3t+1)(8-6t)+\frac{1}{9}$
Với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$ thì: $3t+1\geq 0; 8-6t\geq 0$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{9}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{9}$
P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2
=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1
=−2t2+2t+1=−2t2+2t+1 (đặt t=xyt=xy)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
1+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥01+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥0
⇔xy≤1⇔xy≤1
1+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥01+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥0
⇒xy≥−13⇒xy≥−13
Vậy, ta cần tìm min, max P=−2t2+2t+1P=−2t2+2t+1 với −13≤t≤1−13≤t≤1
Ta thấy:
P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32 với mọi −13≤t≤1−13≤t≤1
Do đó Pmax=32Pmax=32
Mặt khác:
P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19
=19(3t+1)(8−6t)+19=19(3t+1)(8−6t)+19
Với −13≤t≤1−13≤t≤1 thì: 3t+1≥0;8−6t≥03t+1≥0;8−6t≥0
⇒P≥19⇒P≥19
Vậy Pmin=19