Question

[Nguyễn Minh Đăng]

CM: \(3^{2n+1}+40n-67⋮64\) với n nguyên dương

Answer 1

[Trí Tiên]

Đặt \(S_n=3^{2n+1}+40n-67\)

Xét \(n=1\Rightarrow S_n=0⋮64\)

Giả sử n đúng với \(n=k\left(k\inℤ^+\right)\)tức là ta có :

\(S_k=3^{2k+1}+40k-67⋮64\). Ta cần chứng minh n đúng với \(n=k+1\).

Tức cần chứng minh \(S_{k+1}=2^{2\left(k+1\right)+1}+40\left(k+1\right)-67⋮64\)

Thật vậy ta có : \(S_{k+1}=2^{2\left(k+1\right)+1}+40\left(k+1\right)-67\)

\(=9\cdot2^{2k+1}+40k-27\)

\(=9\cdot\left(2^{2k+1}+40k-67\right)-320k+576\)

\(=9\cdot S_k-320k+576⋮64\)

Vậy n đúng với \(n=k+1\)

Do đó \(S_n=3^{2n+1}+40n-67⋮64\forall n\inℤ^+\)

Answer 2

[FL.Han_]

Với \(n=1\)thì \(3^3+40-67=0⋮64\)

Giả sử \(3^{2k+1}+40k-67⋮64\)

Xét \(3^{2k+3}+40\left(k+1\right)-67\)

\(=9\left(3^{2k+1}+40k-67\right)+64\left(9-5k\right)⋮64\)

\(\)