cho a,b>0 thỏa mãn a+b≤1
tìm min S=\(ab+\frac{1}{ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
OF
OP︵JACK-FF
19 tháng 9 2020
https://i.imgur.com/1UkjVXu.jpg
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
PN
10 tháng 2 2021
có ở trong câu hỏi tương tự nhé
\(S=13\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}\right)+13\left(\frac{b}{24}+\frac{c}{48}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{2}{ab}\right)+\left(\frac{a}{18}+\frac{c}{24}+\frac{2}{ac}\right)+\left(\frac{b}{8}+\frac{c}{16}+\frac{2}{bc}\right)+\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{6}+\frac{c}{12}+\frac{8}{abc}\right)\)Cô si các ngoặc là được nhé
13 tháng 5 2021
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\) \(\left(x,y,z>0\right)\)
Theo đề \(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow x+y+z=3\)
Và \(\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{yz}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{zx}}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x+y+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y+z+yz}}+\frac{1}{\sqrt{z+x+zx}}\)
\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\) (Cauchy Schwarz)
Ta có: \(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}\right)^2}\)
\(\le\sqrt{3\left(x+y+xy+y+z+yz+z+x+zx\right)}\)
\(=\sqrt{\left[2\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)\right]}\)
\(\le\sqrt{6+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\sqrt{6+\frac{3^2}{3}}=3\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\frac{bc}{b+c+1}}+\sqrt{\frac{ca}{c+a+1}}\)
\(\ge\frac{9}{\sqrt{x+y+xy}+\sqrt{y+z+yz}+\sqrt{z+x+zx}}\ge\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1\)
15 tháng 1 2019
Có: \(\frac{2018a+3}{1+b^2}=2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{1+b^2}\) (Làm tắt ráng hiểu ^^)
\(\ge2018a+3-\frac{b^2\left(2018a+3\right)}{2b}\left(Cauchy\right)\)
\(=2018a+3-\frac{b\left(2018a+3\right)}{2}\)
\(=2018a+3-\frac{2018ab+3b}{2}\)
Tương tự \(\frac{2018b+3}{1+c^2}\ge2018b+3-\frac{2018bc+3b}{2}\)
\(\frac{2018c+3}{1+a^2}\ge2018c+3-\frac{2018ac+3a}{2}\)
CỘng vế với vế của các bđt trên lại ta được
\(A\ge2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{2018\left(ab+bc+ca\right)+3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(=2018\left(a+b+c\right)+9-\frac{6054+3\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(=2018\left(a+b+c\right)-\frac{3\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)
\(=\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\)
Ta có bđt phụ : \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\)(1)
Thật vậy \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Nên (1) được chứng minh
ÁP dụng (1) ta được \(A\ge\frac{4033\left(a+b+c\right)}{2}-3018\ge\frac{4033}{2}\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}-3018\)
\(=\frac{4033}{2}\sqrt{3.3}-3018\)
\(=\frac{6063}{2}\)
Dấu "='' xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\ab+bc+ca=3\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)
Vậy \(A_{min}=\frac{6063}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
W
1
29 tháng 4 2018
We have : \(A=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\)
By Cauchy - Schwarz and AM - GM have :
\(A\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{2.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\ge6\)
Then greatest posible of A is 6 when \(a=b=\frac{1}{2}\)
30 tháng 12 2018
\(A=\frac{a}{\sqrt{3+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{3+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{3+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+bc+ca+ab}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ca+ab+bc}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}+\frac{\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}\cdot\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c+a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+c}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+a}}\cdot\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c+b}}\)
\(\le\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}}{2}+\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{b}{a+b}}{2}+\frac{\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy Max A = 3/2 khi a = b = c = 1. (Max not Min)