Tìm GTNN của
P=\(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
5
12 tháng 5 2016
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki với 2 dãy số: x; 2y và 1;1. Ta có:
\(\left(x^2+2y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\left(x+2y\right)^2\)
\(<=>\left(x^2+2y^2\right)\times2\ge1\)
\(<=>\left(x^2+2y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)
\(<=>P\ge\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của P là 1/2 <=> \(\frac{x}{1}=\frac{2y}{1}<=>x=2y\)
TN
12 tháng 5 2016
áp dụng BĐT cauchy schwarz ta có:
(x2+2y2)(1+2)\(\ge\)(x+2y)2=1
nên x2+2y2\(\ge\frac{1}{3}\)
21 tháng 5 2015
1. x≥1 <=> \(\frac{1}{x}\le1\Leftrightarrow\frac{1}{x}+1\le2\Leftrightarrow A\le2\Rightarrow MaxA=2\Leftrightarrow x=1\)
2. Áp dụng bđt cosi cho x>0. ta có: \(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow P\ge2\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)
21 tháng 5 2015
3: \(A=\frac{x^2+x+4}{x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x+1\right)+4}{x+1}=x+1-1+\frac{4}{x+1}\)
áp dụng cosi cho 2 số dương ta có: \(x+1+\frac{4}{x+1}\ge2\sqrt{x+1.\frac{4}{x+1}}=2\Leftrightarrow A+1\ge2\Rightarrow A\ge3\Rightarrow MinA=3\Leftrightarrow x+1=\frac{4}{x+1}\Leftrightarrow x=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 7 2023
Lời giải:
1. Áp dụng BĐT Cô-si
$G=\frac{x^2}{x-1}=\frac{(x^2-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$
$=(x-1)+\frac{1}{x-1}+2$
$\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{1}{x-1}}+2=2+2=4$
Vậy $G_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại $x-1=\frac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 7 2023
2.
Áp dụng BĐT Cô-si:
$H=x+\frac{1}{x}=(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+\frac{3}{4}x$
$\geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+\frac{3}{4}x$
$=1+\frac{3}{4}x\geq 1+\frac{3}{4}.2=\frac{5}{2}$ (do $x\geq 2$)
Vậy $H_{\min}=\frac{5}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=2$
Xet \(P-\frac{1}{3}=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}-\frac{1}{3}=\frac{3x^2-3x+3-\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2x^2-4x+2}{x^2+x+1}\)
=\(\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x-1\right)^2}{x^2+x+1}\ge0\) (do \(x^2+x+1>0\forall x\) )
Suy ra \(P\ge\frac{1}{3}\)
Dau = xay ra khi \(x-1=0\Leftrightarrow x=1\)
Ta CM 1 số BĐT phụ sau :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab-4ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
và \(x^2+x+1=x^2+2x+1-x\ge\left(x+1\right)^2-\frac{\left(x+1\right)^2}{4}=\frac{3\left(x+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=1-\frac{2x}{x^2+x+1}\)
\(\ge1-\frac{\frac{\left(x+1\right)^2}{2}}{x^2+x+1}\ge1-\frac{\frac{\left(x+1\right)^2}{2}}{\frac{3\left(x+1\right)^2}{4}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)