Question

[•Iċε ℌαċкεɾ (Čїεℓ*)•]

Chứng tỏ: \(n^3-n⋮6\)

Answer 1

[Minh Nguyen]

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)là tích của 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\)Có 1 số \(⋮\)2 và 1 số \(⋮3\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)(=2.3)

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\left(ĐPCM\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Minh Đăng]

Bài làm:

Áp dụng cách phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8) ta có:

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\)

Đến đây chúng ta cần có điều kiện n là số nguyên để chứng minh, nếu không có điều kiện này thì không thể CM được

Ta thấy n ; n-1 ; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp

Vì trong 2 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 2; trong 3 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 nên ta có:

Trong 3 số: \(\left(n-1\right);n;\left(n+1\right)\)có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2\\\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\end{cases}\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6}\)

\(\Rightarrow n^3-n⋮6\)

=> đpcm