Cho các số thực dương \(x;y\) thỏa mãn \(\frac{y+2}{3x+3}=\frac{\sqrt{3x+3}+2}{\sqrt{y+2}+2}\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=x^2+y^2-3y-2x-3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
21 tháng 12 2019
Đáp án C
Ta có
Khi đó
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3 + 2 2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Ta có:
\(VT=\sqrt{x+z}\sqrt{\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{x+y}\sqrt{\dfrac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{y+z}\sqrt{\dfrac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(\Rightarrow VT^2\le\left(x+z+x+y+y+z\right)\left(\dfrac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Mặt khác ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\sqrt[3]{xyz}.\sqrt[3]{xy.yz.zx}\)
\(\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right).\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\dfrac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)
CM
5 tháng 5 2019
Đáp án D
Đặt log 25 x 2 = log 15 y = log 9 x + y 4 = t ⇒ x 2 = 25 t y = 15 t x + y = 4 . 9 t
⇒ 2 . 15 t + 15 t = 4 . 9 t x y = 2 5 3 t ⇒ 2 . 5 3 2 t + 5 3 t - 4 = 0 ⇔ [ 5 3 t = - 1 + 33 4 5 3 t = - 1 - 33 4
⇒ 5 3 t = - 1 + 33 4 ⇒ x y = - 1 + 33 4 ⇒ a = - 1 b = 33 ⇒ a + b = 32 .
Lời giải:
Đặt $\sqrt{y+2}=a; \sqrt{3x+3}=b(a,b>0)$
Theo bài ra ta có: \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b+2}{a+2}\Rightarrow a^3+2a^2=b^3+2b^2\)
\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)+2(a^2-b^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+2a+2b)=0\)
Vì $a,b>0$ nên $a^2+ab+b^2+2a+2b>0$
Do đó: $a-b=0\Rightarrow a=b\Rightarrow a^2=b^2\Leftrightarrow y=3x+1$
Thay vào biểu thức:
$Q=x^2+(3x+1)^2-3(3x+1)-2x-3$
$=10x^2-5x-5=10(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4^2})-\frac{45}{8}$
$=10(x-\frac{1}{4})^2-\frac{45}{8}\geq \frac{-45}{8}$
Vậy GTNN của $Q$ là $\frac{-45}{8}$ khi $x=\frac{1}{4}$ và $y=\frac{7}{4}$