Cho a, b >1
CMR :
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
3
25 tháng 7 2018
\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}\le a.\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)
\(b\sqrt{a-1}\le b.\frac{a-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)
Đến đây là ez rồi...
22 tháng 9 2019
Bài 1: (không dùng Cô-si) Bình phương hai vế, ta được:
\(c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)
\(ac-2c^2+bc+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)
\(0\le\left(ab-ac-bc+c^2\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)
\(0\le\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)
\(0\le\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\)(đúng)
Vậy BĐT đúng. Xảy ra khi \(a=b=2c\)
TN
31 tháng 7 2018
\(BDT\Leftrightarrow\frac{\sqrt{a-9}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}+\frac{\sqrt{c-1}}{c}\le\frac{11}{12}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\frac{\sqrt{9\left(a-9\right)}}{3a}+\frac{\sqrt{4\left(b-4\right)}}{2b}+\frac{\sqrt{1\left(c-1\right)}}{c}\)
\(\le\frac{\frac{9+\left(a-9\right)}{2}}{3a}+\frac{\frac{4+\left(b-4\right)}{2}}{2b}+\frac{\frac{1+\left(c-1\right)}{2}}{c}\)
\(=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{11}{12}=VP\)
Dấu "=" khi \(a=18;b=8;c=2\)
Gợi ý: Mấy bài dạng này bạn tìm một hằng số để nhân thêm vào để rút gọn mất các biến a,b,c nhé.
19 tháng 4 2020
\(VT=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{c+a}}+\sqrt{\frac{b}{a+b}.\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}.\frac{c}{c+a}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(a.1.\sqrt{b-1}+b.1.\sqrt{a-1}\le\frac{1}{2}a\left(1+b-1\right)+\frac{1}{2}b\left(1+a-1\right)=ab\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)