Cho x,y,z≥0
x+y+z≤3
Tìm GTNN của biểu thức A=1/1+x+1/1+y+1/1+z
Giúp mình vs ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Tương tự:
$y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
$z^2+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
Cộng theo vế:
$A\geq 9\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ (đây chính là $A_{\min}$)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
CV
12 tháng 5 2019
b, có thể dùng bunhiacopxki nếu bn k bt bunhiacopxki thì thay 1=x+y+z r sử dụng bđt côsi chính là câu a đấy
6 tháng 6 2018
câu 1
x^2 -5x +y^2+xy -4y +2014
=(y^2+xy +1/4x^2) -4(y+1/2x)+4 +3/4x^2-3x+2010
=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x^2-4x+4)+2007
=(y+1/2x-2)^2 +3/4(x-2)^2 +2007
GTNN là 2007<=> x=2 và y=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1; \frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1; \frac{1}{z+1}+\frac{z+1}{4}\geq 1\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{9}{4}-\frac{x+y+z}{4}\)
Mà \(x+y+z\leq 3\Rightarrow \Leftrightarrow A\geq \frac{9}{4}-\frac{x+y+z}{4}\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
-------------
Hoặc bạn có thể áp dụng luôn BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A\geq \frac{(1+1+1)^2}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{x+y+z+3}\geq \frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Nếu ko bạn có thể làm theo AM-GM:
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1+x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1+x}{4\left(x+1\right)}}=1\)
Tương tự: \(\frac{1}{1+y}+\frac{1+y}{4}\ge1\) ; \(\frac{1}{1+z}+\frac{1+z}{4}\ge1\)
Cộng vế với vế:
\(A+\frac{3+x+y+z}{4}\ge3\Rightarrow A\ge3-\frac{3+x+y+z}{4}\ge3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
\(A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)