Giải và biện luận phương trình: \(\sqrt[]{a+x}+\sqrt{a-x}=a\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VM
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 3 2021
Lời giải:
TH1: $a< 0$ thì PT không tồn tại
TH2: $a=0$ thì PT có nghiệm duy nhất $x=0$
TH3: $a>0$
PT $\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-a)(x+a)}=2a$
$\Leftrightarrow (x-a)+\sqrt{(x-a)(x+a)}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a}(\sqrt{x-a}+\sqrt{x-a})=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a}.\sqrt{2a}=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-a}=0$
$\Leftrightarrow x=a$.
Kết luận:
$a<0$ thì PT không tồn tại
$a\geq 0$ thì pt có nghiệm duy nhất $x=a$
DM
1
27 tháng 2 2016
\(\sqrt{2x^2+3}\) < \(x-a\) (1)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x-a\ge0\\2x^2+3\ge0\\2x^2+3<\left(x-a\right)^2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\in\left(a;+\infty\right)\\f\left(x\right):=x^2+2ax+3-a^2<0\end{cases}\) (a)
\(x\in\left(a;+\infty\right)\) := (*)
Hiển nhiên T(1) = T(a) \(\cap\) (*). Xét bất phương trình (a) có
\(\Delta=2a^2-3\) ; \(\frac{s}{2}-a=-2a\) và \(1.f\left(a\right)=2a^2+3>0\) với mọi a \(\in R\)
- Nếu \(\left|a\right|\le\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta\le0\) suy ra (a) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm
- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta>0\) nên bất phương trình (a) có tập nghiệm
T(a) = (\(x_1;x_2\)) với \(x_1=-a-\sqrt{2a^2-3}\); \(x_2=-a+\sqrt{2a^2-3}\)
- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)
Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=\(\varnothing\) hay (1) vô nghiệm
- Nếu \(\left|a\right|<\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)
Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=T(a). Từ đó kết luận :
+ Với \(a\ge-\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì bất phương trình đã cho vô nghiệm
+ Với \(a<-\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì bất phương trình đã cho có nghiệm
\(-a-\sqrt{2a^2-3}\) <x<\(-a+\sqrt{2a^2-3}\)
- Với \(a< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) pt vô nghiêm
- Với \(a=0\Rightarrow\) pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)
- Với \(a>0\) \(\Rightarrow\) ĐKXĐ: \(-a\le x\le a\)
\(\Leftrightarrow a+x+a-x+2\sqrt{a^2-x^2}=a^2\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a^2-x^2}=a^2-2a\)
+ Với \(0< a< 2\) pt vô nghiệm
+ Với \(a\ge2\)
\(\Leftrightarrow a^2-x^2=\frac{\left(a^2-2a\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^2=a^2-\frac{a^4-4a^3+4a^2}{4}=\frac{a^3\left(4-a\right)}{4}\)
Vậy:
- Với \(\left[{}\begin{matrix}a< 0\\0< a< 2\\a>4\end{matrix}\right.\) pt vô nghiệm
- Với \(a=\left\{0;4\right\}\) pt có nghiệm duy nhất \(x=0\)
- Với \(2\le a< 4\) pt có 2 nghiệm \(x=\pm\sqrt{\frac{a^3\left(4-a\right)}{4}}\)