Cho a,b,c thỏa mãn: ab+a+b=8. Tìm GTNN của biểu thức M=a^2+b^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2021
\(A=\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)+\left(ab+\dfrac{16}{ab}\right)+\dfrac{17}{2ab}\)
\(A\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{16ab}{ab}}+\dfrac{17}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\dfrac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}+8+\dfrac{34}{4^2}=\dfrac{83}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
YN
8 tháng 2 2023
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 9 2021
\(a\ge2b\Rightarrow\dfrac{a}{b}\ge2\)
\(A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a}{4b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{a}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{4ab}}+\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{5}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi \(a=2b\)
H
13 tháng 4 2021
Cho phép mình giải max bài này ạ:
Ta có:
\(\sqrt{2a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\overset{cosi}{\le}\dfrac{a+b+a+c}{2}\)
Tương tự: \(\sqrt{2b+ac}\le\dfrac{b+c+b+a}{2};\sqrt{2c+ab}\le\dfrac{c+a+c+b}{2}\)
\(\Rightarrow Q\le\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2}=2\left(a+b+c\right)=4\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
8 tháng 1 2021
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
4 tháng 5 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(A=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy .............
20 tháng 12 2018
ai giải giùm mk vs. ai giải đc từ nay về sau mk gọi ng đó là sư phụ
21 tháng 12 2018
Ta có: \(S+8\cdot1008\ge1008\left(a^2+b^2+c^2\right)+2016ac-ab-bc\)
\(=1008\left(a+c\right)^2-b\left(a+c\right)+1008b^2\)
\(=1008\left[\left(a+c\right)^2-2\left(a+c\right)\cdot\frac{b}{2016}+\frac{b^2}{2016^2}\right]+\left(1008-\frac{1}{4032}\right)b^2\)
\(=1008\left(a+c-\frac{b}{2016}\right)^2+\left(1008-\frac{1}{4032}\right)b^2\ge0\Rightarrow A\ge-8064\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c=\frac{b}{2016}\\b=0\\a^2+b^2+c^2=8\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-c=\pm2\\b=0\end{cases}}}\)