Chứng minh rằng: \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\)< -4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
19 tháng 9 2020
a) \(ĐKXĐ:x,y\ne0;x\ne\pm y\)
Ta có : \(A=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x^2-y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2-x^2}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2.\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}-\frac{x^2.\left(x^2-y^2\right)}{\left(x^2-y^2\right).\left(x^2-y^2\right)}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{y^2.\left(x^2+2xy+y^2\right)-2x^2y-x^2.\left(x^2-y^2\right)}{\left(x-y\right)^2.\left(x+y\right)^2}\right]\)
\(=\frac{y-x}{xy}:\left[\frac{x^2y^2+y^4+2xy^3-2x^2y-x^4+x^2y^2}{\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2}\right]\)
Đề này lỗi mình nghĩ vậy vì trên tử kia không đẹp lắm.....
LA
9 tháng 3 2019
\(\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\right|+\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}\right|=\left|\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{2}\right|+\left|\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}\right|\)
=\(\left|\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|\) (*)
Có \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\Rightarrow\) (*) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y+x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{2\left(x+y\right)}{2}=x+y=\left|x\right|+\left|y\right|\) ( vì x ; y >0)
Với x,y < 0 , đẳng thức trên sai ngay từ bước biến đổi (*) , vì x,y <0 thì \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) không xác định
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2019
Với \(x;y< 0\) đẳng thức vẫn đúng, do \(x;y< 0\Rightarrow xy>0\) ta biến đổi như sau:
\(\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|+\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\left|x\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\left|x\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|\)
\(=\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}+\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\)
\(=\left|x\right|+\left|y\right|\)
24 tháng 1 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)
Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)
\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.
G
5 tháng 12 2018
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
5 tháng 12 2018
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
TN
28 tháng 10 2016
Câu hỏi của Tuấn Anh Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
T
20 tháng 10 2020
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2020
\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(xz\right)^2}{zxy^2\left(x+z\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)
\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+zx}+\frac{2\left(xz\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\ge\frac{2\left(yz+xz+xy\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
\(\frac{\left(x+y\right)^2}{xy}\le-4\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge-4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi 2 số x,y đối nhau