Cho đường tròn (O;R)và điểm A nằm ngoài (O).Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O),( B,C là các tiếp điểm).Gọi H là điểm của OA và BC
a)CM Tg ABOC nội tiếp
b)CM OA là đường trung trực của BC
c)Lấy điểm D đối xứng B qua O.Gọi E là giao điểm của đoạn AD với (O),E không trùng D
CM:DE/BE=BD/BA
d)Tính số đo góc HEC
a, - Xét ( O ) có : AB là tiếp tuyến của ( O ) tại B .
=> \(AB\perp OB\)
=> \(\widehat{ABO}=90^o\)
CMTT : \(\widehat{ACO}=90^o\)
-> \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\)
Mà 2 góc trên là 2 góc đối .
=> Tứ giác ABOC nội tiếp .
b, - Xét ( O ) có : Hai tiếp tuyến OA, OB cắt nhau tại A .
=> AB = AC .
- Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\left(cmt\right)\\OB=OC\left(=R\right)\end{matrix}\right.\)
=> AO là đường trung trực của BC .
c, - Ta có : D đối xứng với B qua O .
=> OD = OB = R .
=> \(D\in\left(O\right)\), O, D, B thẳng hàng .
=> BD = 2R -> BD là đường kính .
- Xét ( O ) có : BD là đường kính , \(E\in\left(O\right)\)
=> Tam giác BED vuông tại E .
- Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta ABD\) có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAD}\left(chung\right)\\\widehat{BEA}=\widehat{ABD}\left(=90^o\right)\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta BED\) ~ \(\Delta ABD\) ( g - g )
=> ĐPCM ( tỉ lệ cạnh tương ứng )
a) Vì ˆOBA=ˆOCA=90oOBA^=OCA^=90o nên cả 4 điểm O,B,A,CO,B,A,C cùng thuộc đường tròn đường kính OAOA
b) Chứng minh AB=ACAB=AC. Mặt khác OB=OC=ROB=OC=R
Do đó OA là trung trực của BC
c) Ta có DB là đường kính nên ˆBED=90oBED^=90o
Từ đó chứng minh được ΔBED∼ΔABD(g.g)⇒DEBE=BDBAΔBED∼ΔABD(g.g)⇒DEBE=BDBA
d) Chứng minh ΔBHO∼ΔABO(g.g)⇒HOHB=BOBAΔBHO∼ΔABO(g.g)⇒HOHB=BOBA
Vì BD=2BO,DC=2HOBD=2BO,DC=2HO nên ta thu được DEBE=DCHBDEBE=DCHB
Gọi FF là giao điểm của DEDE và BCBC, ta chứng minh được ˆCDE=ˆHBECDE^=HBE^ vì cùng phụ cặp góc bằng nhau.
Do đó ΔCDE∼ΔHBE(g.g)⇒ˆCED=ˆHEBΔCDE∼ΔHBE(g.g)⇒CED^=HEB^
Từ đó ta tìm được ˆHEC=ˆHED+ˆHEB=90o