Cho \(a+b+c=0\) và \(a^2+b^2+c^2=1\). Chứng minh rằng:
\(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 3 2019
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
WR
3 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\frac{a+2}{27}+\frac{b+2}{27}+\frac{1}{9}>=4\sqrt[4]{\frac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{27.27.9}.\frac{a^4}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}...\)
\(>=\frac{4}{9}a\)
Tương tự
\(=>VT>=\frac{4}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{9}-2\left(\frac{a+2}{9}+\frac{b+2}{9}+\frac{c+2}{9}\right)=\frac{1}{3}.\)
Dấu "="xảy ra khi a=b=c=1
NQ
0
TT
1
30 tháng 7 2023
Từ đề bài ta có :
\(a+b+c=0< =>\left(a+b+c\right)^2=0< =>a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
Mà \(a^2+b^2+c^2=1\) < = > 1 + 2 ( ab + ac + bc ) = 0
< = > 2 ( ab + ac + bc ) = -1
< = > ab + ac + bc = -1/2
\(< =>\left(ab+ac+bc\right)^2=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=\dfrac{1}{4}\)
\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{4}\)
\(< =>\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2=\dfrac{1}{4}\)
Lại có từ \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(< =>\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1< =>a^4+b^4+c^4+2\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]=1\)
\(< =>a^4+b^4+c^4+2.\dfrac{1}{4}=1< =>a^4+b^4+c^4+\dfrac{1}{2}=1< =>a^4+b^4+c^4=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
KN
1 tháng 8 2020
Xét \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}-\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\); \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}-\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}=c-a\)
Cộng theo vế của 3 đẳng thức trên, ta được: \(\left(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\right)\)\(-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)\(=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
\(\Rightarrow2LHS=\Sigma_{cyc}\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)\(\ge\Sigma_{cyc}\text{ }\frac{\frac{1}{3}\left(a+b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}\text{}\Sigma_{cyc}\left[\left(a+b\right)\right]=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow LHS\ge\frac{a+b+c}{3}=RHS\)(Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
P/S: Có thể dùng BĐT phụ ở câu 3a để chứng minhxD:
27 tháng 7 2020
1) ta chứng minh được \(\Sigma\frac{a^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}=\Sigma\frac{b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\)
\(VT=\frac{1}{2}\Sigma\frac{a^4+b^4}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\ge\frac{1}{4}\Sigma\frac{a^2+b^2}{a+b}\ge\frac{1}{8}\Sigma\left(a+b\right)=\frac{a+b+c+d}{4}\)
bài 2 xem có ghi nhầm ko
13 tháng 8 2017
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
13 tháng 8 2017
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
22 tháng 6 2021
vì \(a+b+c=1\)
\(< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\)
\(=3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\)
ta có pt:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{1}{4}\left(3+\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\right)\)
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\)
áp dụng bđt cô- si( cauchy) gọi pt là P
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}\frac{a^2+b^2}{4ab}}+2\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}\frac{b^2+c^2}{4bc}}+2\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}\frac{c^2+a^2}{4ca}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\)
\(P\ge1+1+1+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
<=>ĐPCM
T
2 tháng 10 2017
Đặt a ; b và c = 1
Ta có: \(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}+\frac{1}{1^2+1^2+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}+\frac{1}{1+1+2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\)
\(1>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai.
Cách khác: Nếu bấm máy tính casio thì nó ra là \(\frac{3}{2}\)mà \(\frac{3}{2}>\frac{3}{4}\Rightarrow\)Không thể thỏa mãn đề bài hoặc đề sai
Ta có: a+b+c=0
=> \(\left(a+b+c\right)^2=0\)
=> \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0\)
=> 2ab + 2bc + 2ac = -1 (do \(a^2+b^2+c^2=1\) )
=> \(\left(2ab+2bc+2ac\right)^2=\left(-1\right)^2\)
=> \(4a^2b^2+4b^2c^2+4a^2c^2+8ab^2c+8abc^2+8a^2bc=1\)
=>\(4a^2b^2+4b^2c^2+4a^2c^2+8abc\left(a+b+c\right)=1\)
=>\(2\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\right)=1\) (do a+b+c=0)
=>\(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=\frac{1}{2}\)
Lại có: \(a^2+b^2+c^2=1\)
=> \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1\) = 1
=> \(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2=1\)
=> \(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{2}=1\)
=> \(a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)
=> ĐPCM
Ta có a+b+c=0=>\(\left(a+b+c\right)^2=0\)
=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)(1)
Vì \(a^2+b^2+c^2=1\)
Thay vào (1) có ab+bc+ca=\(-\frac{1}{2}\)
Ta có\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
=1-2\(\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2a^2bc-2ab^2c-2abc^2\right]\)
=1-2\(\left[\frac{1}{4}-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
=1-2\(\left(\frac{1}{4}-0\right)\)
=1-\(\frac{1}{2}\)=\(\frac{1}{2}\)(đpcm