\(\frac{x^2}{y^2}\)+\(\frac{y^2}{x^2}\)+4 ≥ 3(\(\frac{x}{y}\)+\(\frac{y}{x}\))
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 5 2020
Cách 3 chưa đọc, nhưng cả cách 1 lẫn cách 2 đều sai. Sai lầm là ko chú ý điều kiện \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=t^2-3t-2\)
- Nếu \(t\le-2\Rightarrow P=\left(t+2\right)\left(t-5\right)+8\ge8\)
- Nếu \(t\ge2\Rightarrow P=\left(t-2\right)\left(t-1\right)-4\ge-4\)
So sánh 2 trường hợp ta kết luận được \(P_{min}=-4\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)
QT
Quoc Tran Anh Le
Giáo viên
14 tháng 1 2024
Ta nhập phép tính cần tính trên cửa số CAS ở phần mềm Geogebra. Khi đó máy sẽ tự động rút gọn và cho ta kết quả:
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\) \(\left(\left|t\right|\ge2\right)\) \(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
BĐT trở thành: \(t^2-2+4\ge3t\Leftrightarrow t^2-3t+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\) (1)
- Nếu \(t\le-2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t-1\le-3\\t-2\le-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge12>0\) (đúng)
- Nếu \(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t-1\ge1\\t-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\) (đúng)
Vậy (1) luôn đúng hay BĐT đã cho luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi \(t=2\) hay \(x=y\)