\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+c}+\frac{z}{z+x}>1\)\(x,y,z\)\(thuộc\)\(^{z^+}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 2 2017
Áp dụng liên tiếp bđt AM-GM cho 2 số dương ta có:
A = \(\left(xyz+1\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\)\(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}=\left(xy+\frac{y}{x}\right)+\left(yz+\frac{z}{y}\right)+\)\(\left(xz+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(\ge2\sqrt{xy.\frac{y}{x}}+2\sqrt{yz.\frac{z}{y}}+2\sqrt{xz.\frac{x}{z}}+\)\(+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(A\ge2y+2z+2x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)\(=x+y+z+\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
\(A\ge x+y+z+2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{y}}+\)\(2\sqrt{z.\frac{1}{z}}=x+y+z+2.3=x+y+z+6\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
22 tháng 12 2018
\(xy\ge6;y\ge3\Leftrightarrow x\ge2\)
\(GTNN_P=3+2=5\)
Vậy Min P = 5<=> x = 2 ; y = 3
23 tháng 12 2018
Phạm Tuấn Đạt -,- CTV trash ak
Bài 1 : (nguồn: Nguyễn Hưng Phát CTV) đừng bảo t copy -,-
\(P=x+y+2013=\left(x+\frac{2}{3}y\right)+\frac{1}{3}y+2013\ge2\sqrt{\frac{2}{3}xy}+\frac{1}{3}y+2013\)
\(\ge2\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\frac{1}{3}.3+2013=4+1+2013=2018\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}y\\xy=6\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=2;y=3}\)
...
Bài 2 làm sau
30 tháng 8 2019
Ta có : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}.\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\)\(\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
Hay \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>1\)\(\left(1\right)\)
Lại có : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)
Hay \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< 2\)\(\left(đpcm\right)\)
Do \(x,y,z\inℤ^+\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y< x+y+z\\y+z< x+y+z\\z+x< x+y+z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\\\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\\\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>1\)
Dễ dàng nhận thấy : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(=>\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)
\(=>đpcm\)