Chứng minh: \(x-1< \left[x\right]\le x< \left[x\right]+1=\left[x+1\right]\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 7 2016
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
31 tháng 8 2018
Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z
\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 8 2018
Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)
Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 1 2024
- Nếu \(a_i=0\) ; \(\forall i\in\left(0;n-1\right)\Rightarrow a_nx^n=0\Rightarrow\alpha=0< 1\) thỏa mãn
- Nếu tồn tại \(a_i\ne0\), đặt \(max\left|\dfrac{a_i}{a_n}\right|=A>0\)
Do \(\alpha\) là nghiệm nên:
\(a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+...+a_1\alpha+a_0=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}=-\alpha^n\)
\(\Leftrightarrow\left|\alpha^n\right|=\left|\dfrac{a_0}{a_n}+\dfrac{a_1}{a_n}\alpha+...+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\alpha^{n-1}\right|\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\left|\dfrac{a_0}{a_n}\right|+\left|\dfrac{a_1}{a_n}\right|.\left|\alpha\right|+...+\left|\dfrac{a_{n-1}}{a_n}\right|.\left|\alpha^{n-1}\right|\le A+A.\left|\alpha\right|+...+A.\left|\alpha^{n-1}\right|\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A\left(1+\left|\alpha\right|+\left|\alpha^2\right|+...+\left|\alpha^{n-1}\right|\right)\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le A.\dfrac{\left|\alpha^n\right|-1}{\left|\alpha\right|-1}\)
TH1: Nếu \(\left|\alpha\right|\le1\) hiển nhiên ta có \(\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)
TH2: Nếu \(\left|\alpha\right|>1\)
\(\Rightarrow\left|\alpha^n\right|\le\dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}-\dfrac{A}{\left|\alpha\right|-1}< \dfrac{A.\left|\alpha^n\right|}{\left|\alpha\right|-1}\)
\(\Leftrightarrow\left|\alpha\right|-1< A\Rightarrow\left|\alpha\right|< 1+A\) (đpcm)
TN
23 tháng 8 2017
chứng minh $\sqrt{x(y+1)}+\sqrt{y(z+1)}+\sqrt{z(x+1)}\leq \frac{3}{2}\sqrt{(x+1)(y+1)(z+1)}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
\(x-1< [x]\le x\)
Cái này là định lý nha bạn.Nên không cần chứng minh
Còn: \(x=\left[x\right]+1\)Khi \(x\in R\backslash Z\)và \(x< \left[x\right]+1\)Khi \(x\in Z\)
Còn: \(\left[x\right]+1=\left[x+1\right]\)là hoàn toàn sai
Khi k nguyên :
[ x ] + k = [x + k ]
nên [ x ] + 1 = [ x + 1] không phải là hoàn toàn sai đâu em