Bài 1:Tìm các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 thỏa mãn hệ thức sau:
x.P(x-1) = (x-2).P(x)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2023
\(x.P\left(x-1\right)=\left(x-2\right).P\left(x\right)\) (1)
Thay \(x=0\) vào (1) \(\Rightarrow0.P\left(-1\right)=-2.P\left(0\right)\Rightarrow P\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow x=0\) là 1 nghiệm của đa thức
Thay \(x=2\) vào (1):
\(2.P\left(1\right)=0.P\left(2\right)\Rightarrow P\left(1\right)=0\)
\(\Rightarrow x=1\) là 1 nghiệm của đa thức
\(\Rightarrow\) \(P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(x=0;x-1\)
Mà bậc P(x) nhỏ hơn 4 nên P(x) tối đa có bậc 3
\(\Rightarrow P\left(x\right)=k.x.\left(x-1\right).\left(ax+b\right)\) với \(k\ne0\)
Thay vào (1)
\(\Rightarrow x.k\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b\right)=kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax+b\right)\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(ax-a+b-ax-b\right)=0\)
\(\Rightarrow kx\left(x-1\right)\left(x-2\right).\left(-a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=0\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=a.x.\left(x-1\right)\) với a là số thực khác 0 bất kì
22 tháng 7 2023
P(x)=ax^3+bx+c
Hệ số cao nhất là 4 nên a=4
=>P(x)=4x^3+bx+c
Hệ số tự do là 0 nên P(x)=4x^3+bx
P(1/2)=0
=>4*1/8+b*1/2=0
=>b=-1
=>P(x)=4x^3-x
DH
12 tháng 12 2019
Ta thấy vế phải là phương trình bậc 2 nên:
\(\Rightarrow f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\Rightarrow f\left(1-x\right)=a\left(1-x\right)^2+b\left(1-x\right)+c=ax^2-x\left(2a+b\right)+a-b+c\)
\(\Rightarrow3f\left(x\right)-f\left(1-x\right)=x^2\left(3a-a\right)+x\left\{3b-\left[-\left(2a+b\right)\right]\right\}+3c-\left(a-b+c\right)\)
\(=x^2+1\)
\(\Rightarrow2a.x^2+2x\left(a+2b\right)-a+b-2x=x^2+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=1\\a+2b=0\\-a+b-2c=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\b=-\frac{1}{4}\\c=-\frac{7}{8}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x-\frac{7}{8}\)
Vậy .......................................................................
VC
Vũ Cao Minh⁀ᶦᵈᵒᶫ ( ✎﹏IDΣΛ亗 )
CTV
VIP
24 tháng 6 2020
Thay \(x=0\) vào ta có :
\(0.P\left(1+1\right)=\left(1^2-4\right).P\left(0\right)\Leftrightarrow0=-3.P\left(0\right)\Leftrightarrow P\left(0\right)=0\)
Thay \(x=\pm2\) vào ta có : ... ( Chứng minh tương tự )
=> Vậy P ( x ) có ít nhất 3 nghiệm là x = 0; x = 2 và x = -2
NH
24 tháng 6 2020
+ Với \(x=0\Rightarrow0.P\left(0+1\right)=\left(0-4\right).P\left(0\right)\)
\(\Leftrightarrow-4.P\left(0\right)=0\)
\(\Rightarrow P\left(0\right)=0\)
Vậy \(x=0\)là nghiệm của đa thức .
+ Với \(x=2\Rightarrow2.P\left(2+1\right)=\left(4-4\right).P\left(2\right)\)
\(\Leftrightarrow2P\left(3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(3\right)=0\)
Vậy \(x=3\)là nghiệm của đa thức .
+ Với \(x=-2\Rightarrow\left(-2\right).P\left(-2+1\right)=\left(4-4\right).P\left(-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(-2\right).P\left(-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(-1\right)=0\)
Vậy \(x=-1\)là nghiệm của đa thức .
\(\Rightarrow\)\(P\left(x\right)\) có ít nhất 3 nghiệm .