CM: \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NG
1
T
27 tháng 6 2019
\(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\ge0\)
\(\frac{1+a^2-1-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{1+b^2-1-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{a^2-ab}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b^2-ab}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\frac{\left(ab-1\right)\left(b-a\right)^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\left(1\right)\)
\(a\ge b\ge1=>ab\ge0\left(2\right)\)
(1)(2)=>đề bài
Y
1 tháng 5 2019
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1+b^2+1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^3b+ab^3+2ab+2\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3-2a^2b^2-a^2-b^2+2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\) mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
17 tháng 5 2017
Giải:
Xét hiệu \(A=\left(a^2+b^2+1\right)-\left(ab+a+b\right)\)
\(=a^2+b^2+1-ab-a-b\)
\(\Rightarrow2A=2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\) \(+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2A\ge0\Leftrightarrow A\ge0\)
Vậy \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=1\)
VT
11 tháng 9 2017
bài 1)
ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)
=> \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
26 tháng 11 2020
Tự nhiên lục được cái này :'(
3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
MC
2
7 tháng 9 2017
Sủa đề : Cho \(a;b\ge1\) , cmr : \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
Biến đổi tương đương ta có :
\(bdt\Leftrightarrow\frac{1+b^2+1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2+a^3b+ab^3+2ab-2a^2b^2-2a^2-2b^2-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^2-b^2+a^3b+ab^3+2ab-2a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(-a^2-b^2+2ab\right)+\left(a^3b+ab^3-2a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2+ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)\ge0\)(luôn đúng \(\forall a;b\ge1\))
Vậy bđt đã được chứng minh
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\left(true!!\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=1
Xét hiệu \(A=\left(a^2+b^2+1\right)-\left(ab+a+b\right)\)
\(=a^2+b^2+1-ab-a-b\)
\(\Rightarrow2A=2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2A\ge0\Leftrightarrow A\ge0\)
Vậy \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=1\)