Cho a + b \(\ge\) 1 . CMR: a2 + b2 \(\ge\) 1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 4 2021
- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)
- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\) trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)
Vậy \(a=b=c=0\)
25 tháng 5 2021
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab`
`<=>2(a^2+b^2)>=(a+b)^2=1`
`<=>a^2+b^2>=1/2(đpcm)`
Dấu "=' `<=>a=b=1/2`
25 tháng 5 2021
ta có:
(a²+b²)(1²+1²)≥(a.1+b.1)²
⇔ 2(a²+b²) ≥ (a+b)²
⇔ 2(a²+b²)≥ 1 (vì a+b=1)
⇔ a² +b² ≥ 1/2 (đpcm)
dấu "=) xảy ra khi a = b = 1/2
Y
3
8 tháng 3 2021
Mk ms tìm được GTNN thôi!
Ta có: A = a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)(1 - ab)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số ko âm a2 và b2 ta có:
a2 + b2 \(\ge\) 2ab
\(\Leftrightarrow\) 1 \(\ge\) 2ab
\(\Leftrightarrow\) 1 - 2ab \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) 1 - ab \(\ge\) ab
\(\Rightarrow\) A \(\ge\) ab(a + b)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = \(\sqrt{0,5}\)
\(\Rightarrow\) A \(\ge\) 0,5 . 2\(\sqrt{0,5}\) = \(\sqrt{0,5}\)
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2021
\(a^2+b^2=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a\le1\\0\le b\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3\le a^2\\b^3\le b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le a^2+b^2=1\)
\(A_{max}=1\) khi \(\left(a;b\right)=\left(0;1\right);\left(1;0\right)\)
\(a^3+a^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}a^2\)
\(b^3+b^3+\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}b^2\)
Cộng vế:
\(2\left(a^3+b^3\right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\ge\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(a^2+b^2\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(A_{min}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
DP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
\(VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 5 2023
Lời giải:
$a^2+b^2=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})+(a+b-\frac{1}{2})$
$=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(a+b-\frac{1}{2})$
$\geq a+b-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $a-\frac{1}{2}=b-\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
T
23 tháng 4 2020
Phương Khánh Thực ra là ban đầu mình tính dùng Bunyakovski thẳng luôn nhưng thấy bậc khá cao mà không biết BĐT đó đúng hay sai nên mình đảo a, b, c xuống mẫu để dùng BĐT Bunyakovski thì bậc sẽ thấp hơn.
Và không ngờ sự vô tình đó giúp mình gặp may mắn: Đại lượng abc ở \(\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\) có thể giản ước cho đại lượng abc ở VP. Bậc của BĐT được hạ thấp và mình cứ thế mà chém:))
T
22 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT Bunyakovski\(,\) ta có: \(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Do đó: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{abc\left(a+b+c\right)^3}{ab+bc+ca}\ge9abc\)
Bất đẳng thức cuối tương đương: \(\left(a+b+c\right)^3\ge9\left(ab+bc+ca\right)\) \((\ast)\)
Có: \(3=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\therefore\left(ab+bc+ca\right)=\frac{\left(a+b+c\right)^2-3}{2}\)
\((\ast)\) \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge\frac{9}{2}\)\(\Big[(a+b+c)^2-3\Big] \)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(2a+2b+2c+3\right)\left(a+b+c-3\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Done.
HP
27 tháng 8 2021
Giả sử \(c\le1\).
Khi đó: \(ab+bc+ca-abc=ab\left(1-c\right)+c\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge abc\left(1\right)\)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn với \(a=2,b=c=0\).
Theo giả thiết:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c+2\right)\le4-c^2\)
\(\Leftrightarrow ab\le2-c\)
Trong ba số \(\left(a-1\right),\left(b-1\right),\left(c-1\right)\) luôn có hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\).
\(\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\)
\(\Leftrightarrow abc\ge ca+bc-c\)
\(\Rightarrow abc+2\ge ca+bc+2-c\ge ab+bc+ca\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow\) Bất đẳng thức được chứng minh.
TV
2
8 tháng 6 2023
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2>=0(luôn đúng)
8 tháng 6 2023
Xét hiệu a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=1/2.2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
=1/2(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)
=1/2[(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)]
=1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]
vì (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0
nên 1/2.[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
hay a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc >=0<=> a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
ta có a + b \(\ge1\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge1-2ab\left(1\right)\)
ta lại có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow4ab\le1\)
\(\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow1-2ab\ge\frac{1}{2}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(a+b\ge1\Rightarrow a\ge1-b\Rightarrow a^2\ge b^2-2b+1\)
Nên \(a^2+b^2\ge b^2+b^2-2b+1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2b^2-2b+1=2\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(b=\frac{1}{2}\)
Vậy...............