\(A^3_n-2.C^4_n=3A^2_n\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
12 tháng 8 2023
ĐK của pt là \(n\ge2\)
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+x.C_n^1+x^2.C_n^2+x^3.C^3_n+x^4.C_n^4+...+x^n.C_n^n\)
\(\Rightarrow n\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^1+2x.C_n^2+3x^2.C^3_n+4x^3.C_n^4...+n.x^{n-1}.C^n_n\) ( đạo hàm hai vế )
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(x+1\right)^{n-2}=2.C_n^2+2.3.x.C_n^3+3.4.x^2.C_n^4+...+\left(n-1\right)n.x^{n-2}.C_n^n\) ( đạo hàm hai vế )
Thay x=1 ta được: \(n\left(n-1\right).2^{n-2}=2.C_n^2+2.3.C^3_n+3.4.C_n^4+...+\left(n-1\right).n.C^n_n\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right).2^{n-2}=64n.\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)=0\\2^{n-2}=64\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}n=0;n=1\left(ktm\right)\\n=8\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(n=8\)
MA
1
KB
29 tháng 3 2022
Với k \(\in\)N* ; ta có : \(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!\left(k-1\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!\left(k-1\right)!}=nC_{n-1}^{k-1}\)
Khi đó : \(C_n^1+2C_n^2+...+nC^n_n\) = \(\Sigma^n_{k=1}nC^{k-1}_{n-1}\)
= \(n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\) \(=n.\left(1+1\right)^{n-1}=n.2^{n-1}\) ( đpcm )
MA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
Ta có:
\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Do đó:
\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n.2^{n-1}\)
NL
1
4 tháng 9 2022
\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!\cdot3!}+2n=\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}+1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}+2n=\dfrac{\left(n-1\right)\cdot n}{1}+1\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+12n=6n\left(n-1\right)+6\)
\(\Leftrightarrow n^3-3n^2+2n+12n-6n^2+6n-6=0\)
=>\(n^3-9n^2+20n-6=0\)
=>n=3
\(n\ge4\)
\(\frac{n!}{\left(n-3\right)!}-\frac{n!.2}{4!.\left(n-4\right)!}=\frac{n!.3}{\left(n-2\right)!}\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)-\frac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)}{12}=3n\left(n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow12\left(n-2\right)-\left(n-2\right)\left(n-3\right)=36\)
\(\Leftrightarrow n^2-17n+66=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=6\\n=11\end{matrix}\right.\)