cho a,b,c >0. CMR: (a+b+c)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\))>=9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
2
CT
6 tháng 9 2019
lê duy mạnh ns đúng
đây bdt bunhiacopxki
nhân chéo lên sau đó nhân ra là đc
nhiều cách
8 tháng 1 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge9abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số được
\(\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}.3\sqrt[3]{abc}=9abc\left(Đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
T
9 tháng 1 2019
Cách thông dụng nè:
Theo BĐT Cô si cho 3 số:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Chia cả hai vế của BĐT cho a + b + c,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
Y
15 tháng 5 2019
+ Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương a,b và c ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
+ Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số dương \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Do đó : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\frac{1}{abc}}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
20 tháng 10 2020
Cauchy Schwarz dạng Engel là nhanh nhất !
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
20 tháng 10 2020
Cách khác:
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{a}{b+c}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\)
\(=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
10 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức... mình không biết tên mình mới lớp 7 thui ( có thể là Côsi, AM-GM, Cauchy... ) ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) ( đpcm )
Vậy
23 tháng 10 2018
Đứa nào đăng lại câu hồi xưa nhục vc -,-
Cách 1 :
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9\) ( Cosi 2 lần )
Cách 2 :
\(VT=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\) ( Cosi 2 tích )
Cách 3 :
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}=9\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Chúc bạn học tốt ~
31 tháng 7 2019
1. BĐT ban đầu
<=> \(\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+3b}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{b+3c}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{c+3a}\right)\ge\frac{1}{4}\)
<=>\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT buniacoxki dang phân thức
=> BĐT cần CM
<=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng
=> BĐT được CM
31 tháng 7 2019
2) \(a+b+c\le ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\)
ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
Có: \(3\le a+b+c\le ab+bc+ca\le3a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3a^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a\ge1\)
=> \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2a}\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
theo bất dẳng thức cô-si ta có:
\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\)(a>0,b>0,c>0)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\)(1)
\(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\ge\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)(a>0,b>0,c>0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
\(\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\cdot3\cdot\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c}\cdot\sqrt[3]{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (đpcm)
(chúc bạn học tốt
)
thank you