Cho a>0, b>0 và thoả mãn a+b=1
CMR: \(8\left(a^4+b^4+\frac{1}{ab}\right)\ge5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
WB
0
DH
30 tháng 1 2020
Ta có: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left(ab+\frac{1}{ab}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(=\left[ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\right]\left(c+\frac{1}{c}\right)\)
\(\ge\left[2\sqrt{ab.\frac{1}{16ab}}+\frac{15}{4\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\right]\left(2\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)\)
\(\ge\frac{25}{2}\left(Đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2};c=1\)
HV
1
T
13 tháng 9 2018
Ta có \(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\ge\left(a+b+1\right).2ab+\frac{4}{a+b}\)
\(=2.\left(a+b\right)+2+\frac{4}{a+b}\)
\(=a+b+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)
\(\ge2.\sqrt{a.b}+2+2.\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}=2+2+2\sqrt{4}\)
\(=2+2+4=8\)
Vậy\(\left(a+b+1\right).\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\ge8\)với ab=1
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
TT
7
TN
26 tháng 6 2016
\(P=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{ab}\)
Áp dụng Cosi 3 số
\(a+1=a+a+b\ge3\sqrt[3]{a^2b}\)
\(a+1=b+b+a\ge3\sqrt[3]{ab^2}\)
Nhận lại 3 BĐT trên theo vế:
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge9ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{ab}\ge9\)
\(\Leftrightarrow P\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
6 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
HN
1
15 tháng 4 2019
Đặt \(M=\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4\left(a+b\right)}{a+c}\)
\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a+c}{b}+\frac{4a}{a+c}+\frac{4b}{a+c}\)
\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{a+c}\right)+\left(\frac{a+c}{b}+\frac{4b}{a+c}\right)-1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(M\ge2.\sqrt{\frac{b}{a}.\frac{a}{b}}+2.\sqrt{\frac{c+a}{a}.\frac{4a}{a+c}}+2.\sqrt{\frac{a+c}{b}.\frac{4b}{a+c}}-1=2+4+4-1=9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c ( tự giải cụ thể nhé ).
Bài này hình như thừa điều kiện abc=1.
Nếu có chỗ nào sai sót xin chỉ giáo.
\(P=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{8}{ab}\ge\frac{8\left(a^2+b^2\right)^2}{2}+\frac{32}{\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+32=1+32=33\)
\(\Rightarrow P\ge33\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn ghi nhầm đề thì phải
Quả thật là nhầm đề a, ngại quá. Cảm ơn bạn <3