CM:\(a^n-b^n⋮\left(a-b\right)\)n thuộc N*
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2018
Bài kinh điển này có nhiều cách chứng minh, đây là cách sử dụng Bernoulli: \(\left(1+x\right)^r\ge1+rx\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\r\ge2\end{matrix}\right.\)
Với các số thực dương a, b, ta dễ dàng chứng minh \(\dfrac{a-b}{a+b}\ge-1\) và \(\dfrac{b-a}{a+b}\ge-1\) (nhân chéo rút gọn là xong)
Với n=1 BĐT hiển nhiên đúng, xét với \(n\ge2\)
\(\dfrac{a^n+b^n}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^n\Leftrightarrow\dfrac{2^n\left(a^n+b^n\right)}{\left(a+b\right)^n}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n+\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n\ge2\)
Áp dụng BĐT Bernoulli ta có:
\(\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n=\left(1+\dfrac{a-b}{a+b}\right)^n\ge1+\dfrac{n\left(a-b\right)}{a+b}\)
\(\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n=\left(1+\dfrac{b-a}{a+b}\right)^n\ge1+\dfrac{n\left(b-a\right)}{a+b}\)
Cộng vế với vế:
\(\left(\dfrac{2a}{a+b}\right)^n+\left(\dfrac{2b}{a+b}\right)^n\ge2\) (đpcm)
Dấu "=" khi a=b
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
Lời giải:
a) \(A=\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)...\left(\frac{1}{n-1}-1\right)\left(\frac{1}{n}-1\right)\)
\(=\frac{1-2}{2}.\frac{1-3}{3}.\frac{1-4}{4}...\frac{-(n-2)}{n-1}.\frac{-(n-1)}{n}\)
\(=\frac{(-1)(-2)(-3)...[-(n-2)][-(n-1)]}{2.3.4...(n-1)n}\)
\(=\frac{(-1)^{n-1}(1.2.3....(n-2)(n-1))}{2.3.4...(n-1)n}=(-1)^{n-1}.\frac{1}{n}\)
b) \(B=\left(\frac{1}{2^2}-1\right)\left(\frac{1}{3^2}-1\right)...\left(\frac{1}{n^2}-1\right)\)
\(=\frac{1-2^2}{2^2}.\frac{1-3^2}{3^2}.....\frac{1-n^2}{n^2}\)
\(=\frac{(-1)(2^2-1)}{2^2}.\frac{(-1)(3^2-1)}{3^2}....\frac{(-1)(n^2-1)}{n^2}\)
\(=(-1)^{n-1}.\frac{(2^2-1)(3^2-1)...(n^2-1)}{2^2.3^2....n^2}\)
\(=(-1)^{n-1}.\frac{(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)...(n-1)(n+1)}{2^2.3^2....n^2}\)
\(=(-1)^{n-1}.\frac{(2-1)(3-1)...(n-1)}{2.3...n}.\frac{(2+1)(3+1)...(n+1)}{2.3...n}\)
\(=(-1)^{n-1}.\frac{1.2.3...(n-1)}{2.3...n}.\frac{3.4...(n+1)}{2.3.4...n}\)
\(=(-1)^{n-1}.\frac{1}{n}.\frac{n+1}{2}=(-1)^{n-1}.\frac{n+1}{2n}\)
Mình gửi bạn trước câu a, b câu c mình cần xem lại đã nha
22 tháng 5 2021
1.tìm cách viết đúng trong các cách viết sau?
A.2,5 thuộc N B.0 thuộc N* C.0 thuộc N D.0 ko thuộc N
2.gọi A là tập hợp các chữ số của số 2002 thì:
A.A={2;0} B.A={2;0;0;2} C.A={2} D.A={0}
3. số la mã XIV có giá trị là:
A.4 B.6 C.14 D.16
4.nếu điểm O nằm trên đường thẳng xy thì Ox và Oy đc gọi là :
A. hai tia đối nhau
B.hai tia trùng nhau
C. hai đường song song
D 2 đoạn thẳng bằng nhau
31 tháng 10 2016
Chứng minh bằng quy nạp :
- Với n = 2, đặt 2x = b+c-a > 0 , 2y = a-b+c > 0 , 2z = a+b-c > 0
Suy ra a = y+z , b = z+x , c = x+y
BĐT cần chứng minh trở thành \(xy^3+yz^3+zx^3-xyz\left(x+y+z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xyz\left[\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\left(x+y+z\right)\right]\ge0\)(*)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có :
\(y+\frac{x^2}{y}\ge2x\) ; \(x+\frac{z^2}{x}\ge2z\) ; \(z+\frac{y^2}{z}\ge2y\)
Từ đó suy ra \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\left(x+y+z\right)\ge0\)
Từ đó BĐT (*) được chứng minh. Từ đó suy ra BĐT ban đầu được chứng minh.
- Giả sử BĐT đúng với n , ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n+1. Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)
Theo giả thiết quy nạp ta có \(b^nc\left(b-c\right)\ge-a^nb\left(a-b\right)-c^na\left(c-a\right)\)
\(\Rightarrow b^{n+1}c\left(b-c\right)\ge-a^nb^2\left(a-b\right)-c^nab\left(c-a\right)\)
Do đó \(a^{n+1}b\left(a-b\right)+b^{n+1}c\left(b-c\right)+c^{n+1}a\left(c-a\right)\)
\(\ge a^{n+1}b\left(a-b\right)-a^nb^2\left(a-b\right)-c^nab\left(c-a\right)+c^{n+1}a\left(c-a\right)\)
\(=a^nb\left(a-b\right)^2+c^na\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
Vậy BĐT đúng với n + 1
Theo nguyên lí quy nạp BĐT đã cho đúng với mọi n > 1
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c <=> Tam giác đã cho là tam giác đều.
a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+..+b^n-1) chia hết a-b