Cho p,a > 0. CMR: \(\frac{p^2+a^2}{p+a}\ge\sqrt{pa}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
TN
20 tháng 10 2016
sửa đề\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)( luôn đúng với \(x,y\ge1\))
Đpcm
5 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2.\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)
Cộng theo vế BĐT ta được:\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của Nguyễn Bảo Trân - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 6 2020
\(VT=\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(VT\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{b}-a+b+b\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b^2}{c}-b+c+c\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{a}-c+a+a\right)\)
\(VT\ge\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right).b}+\sqrt{\left(\frac{b^2}{c}-b+c\right).c}+\sqrt{\left(\frac{c^2}{a}-c+a\right).a}\)
\(VT\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 6 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^2}{b}=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+a-b=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b+(a-2b)\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2}+(a-2b)\)
Tương tự:
\(\frac{b^2}{c}\geq 2\sqrt{b^2-bc+c^2}+(b-2c)\)
\(\frac{c^2}{a}\geq 2\sqrt{c^2-ca+a^2}+(c-2a)\)
Cộng theo vế:
\(\sum \frac{a^2}{b}\geq 2\sum \sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)(1)\)
Mà theo BĐT AM-GM:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-3ab}\geq \sqrt{(a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2}=\frac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow \sum \sqrt{a^2-ab+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{2}=a+b+c(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{a^2-ab+b^2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z\ge1\)
\(P=\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{\frac{\left(x+2y\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(y+2z\right)^2}{3}}+\sqrt{\frac{\left(z+2x\right)^2}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(3x+3y+3z\right)\ge\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) hay \(a=b=c=3\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(\frac{p^2+a^2}{p+a}=\frac{p^2}{p+a}+\frac{a^2}{p+a}\ge\frac{\left(p+a\right)^2}{2p+2a}=\frac{p+a}{2}\)(1)
Áp dụng BĐT AM - GM: \(\frac{p+a}{2}\ge\sqrt{pa}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{p^2+a^2}{p+a}\ge\sqrt{pa}\left(đpcm\right)\)
Không biết đúng không nữa
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:\(\frac{p^2+a^2}{p+a}=\frac{p^2}{p+a}+\frac{a^2}{p+a}\ge\frac{\left(p+a\right)^2}{2p+2a}=\frac{\left(p+a\right)}{2}\)
Tới đây theo Bất đẳng thức AM-GM ta có ngay điều phải chứng minh