Chứng Minh \(\frac{1}{\sqrt{a}\left(1-\sqrt{a}\right)}\) \(>4\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2019
\(P=\left(\frac{1}{a-1}+\frac{3\sqrt{a}+5}{a\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{4a}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{3\sqrt{a}+5}{\left(a-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{4\sqrt{a}}\)
\(=\left(\frac{4\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\right).\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{4\sqrt{a}}\)
\(=\frac{4}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{4\sqrt{a}}=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\)
Không rút gọn được nữa, chắc do bạn ghi sai đề
Ở đằng sau biểu thức là \(\left(\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{4\sqrt{a}}-1\right)\) sẽ hợp lý hơn, khi đó sẽ rút gọn được
22 tháng 3 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=x\\\sqrt{b}=y\end{matrix}\right.\)
\(bdt\Leftrightarrow x\left(\frac{x}{y}-1\right)\ge y\left(1-\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}-x\ge y-\frac{y^2}{x}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)
bđt này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-x-y\ge0\)
\("="\Leftrightarrow x=y\Rightarrow a=b\)
ML
23 tháng 5 2018
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
3 tháng 2 2022
Bài 1:
a: \(=\sqrt{\dfrac{7-4\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}=1\)
Bài 2:
\(VT=\left(4+\sqrt{15}\right)\cdot\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\cdot\sqrt{8-2\sqrt{15}}\)
\(=\left(4+\sqrt{15}\right)\left(8-2\sqrt{15}\right)\)
\(=32-8\sqrt{15}+8\sqrt{15}-30=2\)
11 tháng 12 2017
bạn chép sai đề nhé
sửa lại:
\(P=\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(P=\left[1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right]\left[1+\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right]\)
\(P=\left[1-\sqrt{a}\right]\left[1+\sqrt{a}\right]\)
\(P=1-a=vp\)
Vậy đẳng thức được chưng minh
b) \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{3}+1\right|\)
\(=\sqrt{3}+1\)\(\left(\sqrt{3}+1>0\right)\)
Thay vào ta được \(P=1-\left(\sqrt{3}+1\right)\)
\(P=1-\sqrt{3}-1\)
\(P=-\sqrt{3}\)
vậy \(P=-\sqrt{3}\)khi \(a=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 11 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)\leq \left(\frac{a+1+a^2-a+1}{2}\right)^2=\left(\frac{a^2+2}{2}\right)^2\)
\(b^3+1\leq \left(\frac{b^2+2}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}\leq \frac{(a^2+2)(b^2+2)}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2}{\sqrt{(a^3+1)(b^3+1)}}\geq \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \underbrace{\frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}+\frac{4b^2}{(b^2+2)(c^2+2)}+\frac{4c^2}{(c^2+2)(a^2+2)}}_{M}\)
Ta cần CM \(M\geq \frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)}\geq \frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\)
\(\Leftrightarrow 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+6(a^2+b^2+c^2)\geq (abc)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq 72\)
Điều này luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq 3\sqrt[3]{(abc)^4}=3\sqrt[3]{8^4}=48\\ 2(a^2+b^2+c^2)\geq 6\sqrt[3]{(abc)^2}=6\sqrt[3]{8^2}=24\end{matrix}\right.\)
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
`Bạn kiểm tra lại đề bài nhé!