Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh \(p^2-1\) chia hết cho 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2015
3) CM:p+1 chia hết cho 2
vì p lớn hơn 3 suy ra p là số lẻ và p+1 là số chẵn.
Vậy p+1 chia hết cho 2
CM:p+1 chia hết cho 3
Ta có:p x (p+1) x (p+2) chia hết cho 3(vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 3)
Mà p và p+2 là số nguyên tố nên p và p+2 ko chia hết cho 3
Vậy p+1 chia hết cho 3
Mà ƯCLN(2,3) là 1
Vậy p+1 chia hết cho 2x3 là 6
Vậy p+1 chia hết cho 6 với mọi p lớn hơn 3 và p+2 cùng là số nguyên tố.
24 tháng 12 2015
Một số nguyên tố > 3 thì sẽ có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
Với p= 3k + 1 suy ra p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 là hợp số
Vậy : p=3k + 2 .Ta có : p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 chia hết cho 3 ( 1 )
Vì : p là SNT > 3 suy ra PLA số lẻ , suy ra p + 1 là số chẵn ( số lẽ + số lẽ = số chẵn )suy ra p+1 chia hết cho 2 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra p + 1 chia hết cho 6 ( một số chia hết hết cho 2 và 3 , chia hết cho 6 )
PT
1
CM
29 tháng 11 2018
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p+1 ⋮ 2 (1)
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
Dạng 3k+1 không xảy ra.
Dạng 3k+2 cho ta p+1 ⋮ 3 (2).
Từ (1) và (2) cho ta p+1 ⋮ 6
CM
25 tháng 11 2019
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 6k-1 hoặc 6k+1nếu p=6k+1 thì p+2=6k+3=3(2k+1)chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên là hợp số(vô lí) do đó p=6k-1⇒p+1=6k chia hết cho 6(đpcm)
Bài này chỉ sử dụng nhận xét này là xong
Nhận xét: Số chính phương chỉ chia ba dư 0 hoặc 1
Chứng minh như sau:
Xét số tự nhiên p, ta thấy p chỉ có 3 dạng p=3k,p=3k+1,p=3k+2 với k là số tự nhiên
Nếu p=3k thì p2=9k2 chia hết cho 3
Nếu p=3k+1 thì p2=(3k+1)2=(3k+1)(3k+1)=9k2+6k+1 chia 3 dư 1
Nếu p=3k+2 thì p2=(3k+2)2=(3k+2)(3k+2)=9k2+12k+4 chia 3 dư 1
Thế cho nên với p là số tự nhiên bất kì thì p2 chia 3 dư 1 hoặc 0
Bước chứng minh hoàn tất
Bây giờ áp dụng vào bài toán
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3
Vậy theo nhận xét vừa rồi ta có p2 chia 3 dư 1 (vì p không chia hết cho 3)
Do đó p2-1 chia hết cho 3
À mà mình có cách này ngắn hơn cách trước
Ta có bước phân tích sau:p2-1=(p2+p)+(-p-1)=p(p+1)-(p+1)=(p+1)(p-1)
Vậy thì p2-1=(p+1)(p-1)
Nhân p vào hai vế ta được p(p2-1)=(p-1)p(p+1)
Lúc này ta có (p-1),p,(p+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp
Thế cho nên có ít nhất một số chia hết cho 3 trong ba số trên
Do đó (p-1)p(p+1) chia hết cho 3
Do đó p(p2-1) chia hết cho 3
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên hiển nhiên không chia hết cho 3
Vậy p2-1 chia hết cho 3