Với x>1;y>1 Tìm Min
P = \(\frac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
17 tháng 1 2017
Ta cần chứng minh
\(x+\frac{27}{\left(x+3\right)^3}\ge1\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{27}{\left(x+3\right)^3}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^4+8x^3+18x^2\ge0\)
Theo đề bài ta có: \(x\ge0\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^4\ge0\\8x^3\ge0\\18x^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x^4+8x^3+18x^2\ge0\)
Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi x = 0
2/ \(P=x+\frac{2}{2x+1}\)
\(\Leftrightarrow2P=2x+\frac{4}{2x+1}=2x+1+\frac{4}{2x+1}-1\)
\(\ge4-1=3\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(\frac{3}{2}\) đạt được khi x = \(\frac{1}{2}\)
10 tháng 6 2017
a , Ta có \(x^2+x+1=x^2+2x\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\)\(\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\) \(\ge\frac{3}{4}>0\left(đpcm\right)\)
b , Ta có : \(4x^2-2x+3\)= \(\left(2x\right)^2-2.2x.1+1^2+2\) = \(\left(2x-1\right)^2+2\ge2>0\left(đpcm\right)\)
c , Ta có \(3x^2+2x+1=x^2-\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}+2x^2+\frac{8x}{3}+\frac{8}{9}\)
= \(\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+2\left(x^2+\frac{4x}{3}+\frac{4}{9}\right)=\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+2\left(x+\frac{2}{3}\right)^2\ge0\)
Vì Dấu "=" không thể xảy ra , do đó \(3x^2+2x+1>0\left(đpcm\right)\)
NH
0
HT
21 tháng 6 2019
a/ \(P=3x+\frac{1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{5x}{2}+\frac{1}{2x}\) \(\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+\frac{5.1}{2}=\frac{5}{2}\)
"="\(\Leftrightarrow x=1\)
b/ \(B=\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{x+1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}.\frac{1}{x+1}}-\frac{3}{2}=\frac{-3+2\sqrt{6}}{2}\)
"="\(\Leftrightarrow3\left(x+1\right)^2=2\Leftrightarrow x=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\)
c/ \(C=\frac{x}{3}+\frac{5}{2x-1}=\frac{2x-1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{5}{2x-1}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{2x-1}{6}.\frac{5}{2x-1}}+\frac{1}{6}=\frac{1+4\sqrt{15}}{6}\)
"="\(\Leftrightarrow x=\frac{6+\sqrt{30}}{12}\)
d/ \(D=\frac{x^2+4x+4}{x}=x+4+\frac{4}{x}\)\(\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+4=8\)
"="\(\Leftrightarrow x=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 6 2019
a/ \(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{5}{2}x\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+\frac{5}{2}.1=\frac{7}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=1\)
b/ \(B=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2\left(x+1\right)}}-\frac{3}{2}=\frac{-3+2\sqrt{6}}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\)
c/ \(C=\frac{2x-1}{6}+\frac{5}{2x-1}+\frac{1}{6}\ge2\sqrt{\frac{\left(2x-1\right).5}{6\left(2x-1\right)}}+\frac{1}{6}=\frac{1+2\sqrt{30}}{6}\)
\("="\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2=30\Rightarrow x=...\)
d/ \(D=x+\frac{4}{x}+4\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+4=8\)
\("="\Leftrightarrow x^2=4\Rightarrow x=...\)
13 tháng 2 2020
Mình áp dụng luôn Cô - si cho các số ta được
a) \(\frac{x}{2}+\frac{18}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\cdot\frac{18}{x}}=2.\sqrt{9}=2.3=6\)
b) \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x-1}{2}\cdot\frac{2}{x-1}}+\frac{1}{2}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
c) \(\frac{3x}{2}+\frac{1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{2}+\frac{1}{x+1}-\frac{3}{2}\ge2\sqrt{\frac{3\left(x+1\right)}{2}\cdot\frac{1}{x+1}}-\frac{3}{2}=2\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}=\frac{-3+2\sqrt{6}}{2}\)
13 tháng 2 2020
h) \(x^2+\frac{2}{x^2}\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{2}{x^2}}=2\sqrt{2}\)
g) \(\frac{x^2+4x+4}{x}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}\ge0\)
\(P=\frac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(P=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(P=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(1\cdot\left(y-1\right)\le\frac{\left(1+y-1\right)^2}{4}=\frac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y-1}\ge\frac{x^2}{\frac{y^2}{4}}=\frac{4x^2}{y^2}\)
Tương tự \(\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{4y^2}{x^2}\)
Cộng theo vế rồi áp dụng Cô-si ta được :
\(P\ge\frac{4x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{16x^2y^2}{x^2y^2}}=8\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)