cho x,y,z > 0 thỏa mãn xy+yz+xz=1. Tìm GTLN của \(A=x^2+8y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
1
C
Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z = 2. Tìm GTLN của biểu thức
\(P=\sqrt{2x+yz}+\sqrt{2y+xz}+\sqrt{2z+xy}\)
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
31 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(2x+y+z\right)\)
Tương tự: \(\sqrt{2y+xz}\le\dfrac{1}{2}\left(x+2y+z\right)\) ; \(\sqrt{2z+xy}\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+2z\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(4x+4y+4z\right)=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
XO
31 tháng 12 2021
P = \(1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)
\(=\sqrt{3.\left(4+xy+yz+zx\right)}\)
Đã biết x2 + y2 + z2 \(\ge\)xy + yz + zx
=> xy + yz + zx \(\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
Khi đó \(P\le\sqrt{3\left(4+xy+yz+zx\right)}\le\sqrt{3\left[4+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}\)
= 4
Dấu "=" xảy ra <=> x = 2/3
30 tháng 12 2021
\(\sqrt{2x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{x+2y+z}{2}\\ \Leftrightarrow P=\sum\sqrt{2x+yz}\le\dfrac{x+2y+z+2x+y+z+x+y+2z}{2}=\dfrac{4\left(x+y+z\right)}{2}=2\cdot2=4\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{6x+y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{64}(\frac{6}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Tương tự:
$\frac{1}{x+6y+z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{6}{y}+\frac{1}{z})$
$\frac{1}{x+y+6z}\leq \frac{1}{64}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{6}{z})$
Cộng theo vế các BĐT trên và thu gọn thì:
$A\leq \frac{1}{64}(\frac{8}{x}+\frac{8}{y}+\frac{8}{z})=\frac{1}{8}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{xy+yz+xz}{8xyz}=\frac{4xyz}{8xyz}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $x=y=z=\frac{3}{4}$
D
1
CT
0
Bài này chỉ tìm min chứ không tìm được max bạn nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((3-2\sqrt{2})x^2+4y^2\geq 2\sqrt{4(3-2\sqrt{2})x^2y^2}=4(\sqrt{2}-1)xy\)
\((3-2\sqrt{2})z^2+4y^2\geq 4(\sqrt{2}-1)yz\)
\((-2+2\sqrt{2})x^2+(-2+2\sqrt{2})z^2\geq 2\sqrt{(-2+2\sqrt{2})^2x^2z^2}=4(\sqrt{2}-1)xz\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(A\geq 4(\sqrt{2}-1)(xy+yz+xz)=4(\sqrt{2}-1)\)
Vậy $A_{\min}=4(\sqrt{2}-1)$
Bài này chỉ tìm min chứ không tìm được max bạn nhé.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((3-2\sqrt{2})x^2+4y^2\geq 2\sqrt{4(3-2\sqrt{2})x^2y^2}=4(\sqrt{2}-1)xy\)
\((3-2\sqrt{2})z^2+4y^2\geq 4(\sqrt{2}-1)yz\)
\((-2+2\sqrt{2})x^2+(-2+2\sqrt{2})z^2\geq 2\sqrt{(-2+2\sqrt{2})^2x^2z^2}=4(\sqrt{2}-1)xz\)
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
\(A\geq 4(\sqrt{2}-1)(xy+yz+xz)=4(\sqrt{2}-1)\)
Vậy $A_{\min}=4(\sqrt{2}-1)$