CMR
\(\frac{a-b}{a+b}< \frac{a ^2-b^2}{a^2+b^2}\)với a>b>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
1
15 tháng 4 2018
Ta có: \(\frac{a-b}{a+b}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b\right)}=\frac{a^2-b^2}{a^2+2ab+b^2}< \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
TN
6 tháng 6 2017
xời làm hoài Câu hỏi của LIVERPOOL - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
21 tháng 1 2019
Nếu dùng đạo hàm thì làm thế này
Có \(P=a+b+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge2\sqrt{ab}+\frac{2}{ab}\left(Cauchy\right)\)
(Dấu '=' khi a = b)
Đặt \(0< t=\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\frac{1}{2}\)thu được
\(P\ge f\left(t\right)=2y+\frac{2}{t^2}=16t+16t+\frac{2}{t^2}-30t\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge3\sqrt[3]{2^9}-\frac{30}{2}=24-15=9\)
Dấu "=" khi \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
TN
12 tháng 8 2017
Bài 1:
Cho a,b,c,d là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: - K2PI – TOÁN THPT | Chia sẻ Tài liệu, đề thi, hỗ trợ giải toán
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\)
Cần chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=3\) (đúng)
Khi a=b=c
T
13 tháng 3 2019
Giải thử ạ,sai bỏ qua ạ:
gt ->\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\sqrt{1+a^2}=\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+a^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{4\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a^2}\right)}\)
\(\le\frac{4+\frac{4}{a^2}}{4}=1+\frac{1}{a^2}\)
Tương tự và cộng theo vế: \(VT\le2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\)
Ta sẽ c/m: \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\right)< -1\).Tới đây em bí -_-"
có
\(a>b\Leftrightarrow a-b>0\) (1)
\(a,b>0\Leftrightarrow2ab>0\)
\(a^2+2ab+b^2>a^2+b^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)>0\) (2)
nhân 1 ,2 thì dc
\(\left(a-b\right)\left\{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)\right\}>0\)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\) " nhân 2 vế cho 1/(a+b(a^2+b^2)
\(\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}>0\)
\(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}-\frac{a-b}{a+b}>\frac{0\Leftrightarrow a^2-b^2}{a^2+b^2}>\frac{a-b}{a+b}\)