cho a b c là 3 cạnh của tam giác chứng minh abc>=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\) Tam giác là tam giác đều
5 tháng 6 2016
Ta có :
( b + c - a ) ( b + a - c ) = b2 - ( c - a )2 < b2
( c + a - b ) ( c + b - a ) = c2 - ( a - b ) 2 < c2
( a + b - c ) ( a + c - b ) = a2 - ( b - c )2 < a2
Nhân từng vế ba bất đẳng thức trên ta được
[ ( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) ]2 < [ abc ]2
Các biểu thức trong dấu ngoặc vuông đều dương nên
( b + c - a ) ( a + c - b ) ( a + b - c ) < abc
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b =c
1 tháng 2 2019
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
\(a+b>c\Rightarrow ac+bc>c^2\)(vì c > 0)
\(b+c>a\Rightarrow ab+ac>a^2\)(vì a > 0)
\(c+a>b\Rightarrow bc+ab>b^2\)(do b > 0)
Do đó: \(2\left(ab+bc+ac\right)>a^2+b^2+c^2\)
\(\)
NN
0
4 tháng 8 2015
Biểu thức đề bài cần chứng minh là: \(a^2-b^2-c^2+abc>0\)
Biểu thức đó cũng có thể viết thành: \(a^2+\left(-b\right)^2+\left(-c\right)^2+abc\)
Mà ta biết, một số dù dương hay âm khi bình phương lên cũng sẽ thành một số luôn lớn hơn hoặc bằng 0, áp dụng vào biểu thức trên, ta có
\(a^2\ge0;\left(-b\right)^2\ge0;\left(-c\right)^2\ge0\)
Hơn nữa a;b;c lại là cạnh của tam giác, cạnh của tam giác luôn có số đo dương , vậy cả ba số a;b;c khi bình phương lên đều lớn hơn 0
\(abc\) lại là tích của ba số dương lớn hơn 0 nên biểu thức: \(a^2+\left(-b\right)^2+\left(-c\right)^2+abc\)>0
HP
27 tháng 1 2017
sử dụng bđt :(x+y)(y+z)(z+x) >= 8xyz (x,y,z>0)
rồi c/m (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) >= abc (đặt b+c-a=x,a+c-b=y,a+b-c=z) là xong
#)Giải :
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\\\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\\\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^3\le a^2\end{cases}}\)
Nhân từng vế ba bđt trên ta được :
\(\left[\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Hay \(abc\ge\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\)
Xảy ra khi a = b = c
áp dụng bdt cosi cho 2 số dương ta có :
\(\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\ge2\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(b+c-a\right)+\left(a+c-b\right)\right]^2\ge4\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
\(\Leftrightarrow c^2\ge\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)(1)
tương tự ta có: \(a^2\ge\left(b+a-c\right)\left(c+a-b\right)\)(2)
\(b^2\ge\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)\)(3)
từ (1) (2) (3) suy ra dpcm