Với x>=0, y>=0 . Chứng minh bất đẳng thức (√x+√y)^2 >= 2√[2(x+y)√xy]
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 7 2017
a/ \(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)
b/ \(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+2\left(x-2y\right)+1+\left(y^2-6y+9\right)+4\)
\(=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1+\left(y-3\right)^2+4\)
\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4>0\)
8 tháng 10 2020
\(x^2+xy+y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2+2.x.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}y^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2+1>1\)
=>ĐPCM
\(x^4+x^2+2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2\right)^2+2x^2.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>\frac{7}{4}\)
=>ĐPCM
\(\left(x+3\right)\left(x-11\right)+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x-33+2003>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+16+1954>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)^2+1954>1954\)
=>ĐPCM
\(-9x^2+12x-15< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left(3x^2+2.3.2x+4+11\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-\left[\left(3x+2\right)^2+11\right]< 11\)
=>ĐPCM
\(-5-\left(x-1\right)\left(x+2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-x-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left(x^2-2x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-5-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]< \frac{-11}{4}\)
=>ĐPCM
11 tháng 7 2016
1) Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}\Leftrightarrow}2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
2) Áp dụng từ câu 1) ta có : \(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy^2z+yz^2x+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)\)
3) Bạn cần sửa lại một chút thành \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\)
Ta có : \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1=\left(x^4-2x^3+x^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)=x^2\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)
KT
16 tháng 7 2018
ĐK: \(x,y>0;x\ne y\)
\(VT=\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(=\frac{\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{xy}=VP\)
\(\Rightarrow\)đpcm
16 tháng 7 2018
Ta có: \(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{xy}\)
TK nha!
IA
23 tháng 10 2020
ta có:\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}=x-y\)
vậy.....
NN
23 tháng 10 2020
\(\frac{\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\right).\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{\sqrt{xy}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{xy}}\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(=x-y\)( đpcm )
13 tháng 9 2016
a/ \(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3}{4}y^2+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1\ge1>0\)
với mọi x,y
b/ \(x^2+5y^2+2x-4xy-16y+14=x^2-2x\left(2y-1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)+\left(y^2-12y+36\right)-23\)
\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-6\right)^2-23\ge-23\)
Bạn xem lại đề
LH
13 tháng 9 2016
2 câu trên đã có kết quả, mình giải quyết câu c nhá
5x2 + 10y2 - 6xy - 4x - 2y + 3 > 0
5x2 + 10y2 - 6xy - 4x - 2y + 3 = x2 + 4x2 + y2 + 9y2 - 6xy - 4x - 2y + 3
=[(2x)2 - 2*2x + 1] + (y2 - 2y + 1) + [(3y)2 - 2*3y + x2 ] + 1
=(2x + 1)2 + (y - 1)2 + (3y - x)2 + 1
(2x + 1)2 \(\ge\)0 với mọi x
(y - 1)2 \(\ge\) 0 với mọi y
(3y - x)2\(\ge\) 0 với mọi x và y
1>0
=> ĐPCM
17 tháng 2 2019
Nhân hai vế của đẳng thức với 2 :
2x^2 + 2y^2 - 2xy = (x^2 - 2xy + y^2)+y^2 + x^2 = (x - y)^2 + x^2 + y^2 >= 0
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0
17 tháng 2 2019
Cả hai vế của đẳng thức nhân 2
2x2 + 2y2 - 2xy = ( x2 - 2xy + y2 ) + y2 + x2 = ( x - y )2 + x2 + y2 \(\ge\)0
Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = 0
k cho mình nha mọi người
8 tháng 7 2016
1) Ta có : \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\left(1\right)\\y^2+z^2\ge2yz\left(2\right)\\z^2+x^2\ge2zx\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1) , (2) , (3) theo vế được ; \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
2) Áp dụng câu trên được : \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)
Tương tự : \(\left(xy\right)^2+\left(yz\right)^2+\left(zx\right)^2\ge xy^2z+yz^2x+zx^2y=xyz\left(x+y+z\right)\)
Vậy \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
3) Đề đúng phải là : \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\)
Ta có : \(x^4-2x^3+2x^2-2x+1\ge0\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x^4-2x^3+x^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)\ge0\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Do đó (1) được chứng minh.