\(CMR:\) Với \(\forall x\) nguyên tố \(a>5\) thì \(a^{2016}-1⋮240\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
DT
0
T
0
PT
0
LH
Với p và q là 2 số nguyên tố > 5.CMR: p^4-q^4 chia hết cho 240
Bạn nào giỏi thì làm đi , mk tick cho!
5
TH
31 tháng 12 2015
.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì p là số nguyến tố lớn hơn 5 nên p là số lẻ
⟹(p−1)(p+1) là tích của 2 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 8 (1)
Do p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)
mặt khác vì p là số lẻ nên p2 là số lẻ →p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2 (3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5:
p có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5k mà p là số nguyến tố nên k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5 (4)
từ (1),(2),(3),(4), suy ra p4−1 chia hết cho 2.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240
Cái này đúng nhất
HB
1
17 tháng 7 2020
+) n là số nguyên tố > 5
=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4
Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5
( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5
mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5
=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (1)
+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 )
n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n là số lẻ => ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2
=> n^4 - 1 chia hết cho 16 (2)
+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5
Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3
Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3)
Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau
=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3
=> n^4 - 1 chia hết cho 240
Câu hỏi của Le Ngan - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
vì 2016 \(⋮\)4 nên đặt a2016 = a4k sau đó làm tương tự