Cho x ,y thưc dương thỏa log0.5(x) + log0.5(y) <= log0.5(x+ y^2) . tìm GTNN của P=x+3y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2020
\(Q=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Ta có \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\)
\(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)
Lại có \(\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2+1-y^2}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
\(\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(Q\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}+3-\frac{x+y+z}{2}\)\(=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
21 tháng 8 2015
Theo giả thiết \(x+y\le3\to xy+\left(y+4\right)\le y\left(3-y\right)+y+4=-\left(y-2\right)^2+8\le8.\)
Do đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz \(\frac{1}{xy}+\frac{9}{y+4}\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{xy+y+4}\ge\frac{16}{8}=2.\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{2}{3}\) ta suy ra \(\frac{2}{3xy}+\frac{6}{y+4}\ge\frac{4}{3}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(y=2,x=1.\) Vậy giá trị bé nhất của \(P\) là \(\frac{4}{3}\).
BN
0
YN
23 tháng 11 2021
Answer:
3.
\(x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+2xy+y^2\right)+7x+7y+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+7.\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+4y^2+40=0\)
\(\Rightarrow4S^2+28S+49+4y^2-9=0\)
\(\Rightarrow\left(2S+7\right)^2=9-4y^2\le9\left(1\right)\)
\(\Rightarrow-3\le2S+7\le3\)
\(\Rightarrow-10\le2S\le-4\)
\(\Rightarrow-5\le S\le-2\left(2\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi: \(\left(1\right)\Rightarrow y=0\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S=x+y=-5\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-5\end{cases}}\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(S=x+y=-2\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\x=-2\end{cases}}\)
\(log_{\frac{1}{2}}x+log_{\frac{1}{2}}y\le log_{\frac{1}{2}}\left(x+y^2\right)\Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}\left(xy\right)\le log_{\frac{1}{2}}\left(x+y^2\right)\Leftrightarrow xy\ge x+y^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)\ge y^2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y>1\\x\ge\frac{y^2}{y-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=x+3y\ge\frac{y^2}{y-1}+3y=4y+1+\frac{1}{y-1}=4\left(y-1\right)+\frac{1}{y-1}+5\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{4\left(y-1\right).\frac{1}{\left(y-1\right)}}+5=9\)
\(\Rightarrow P_{min}=9\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{9}{2}\\y=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)