cm bđt:
\(\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}\)với a>0
(m cần lời giải chi tiết)
TKS
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 10 2020
\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\) \(=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\) \(=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
19 tháng 10 2020
\(M=\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\)
=\(\left[\frac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}\right]:\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}\)
=\(\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\)
=\(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)
=\(\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{a}\)
VT
23 tháng 8 2018
Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}}=2;\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}}=2\)
=> VT\(\ge4\)
dấu = xảy ra <=> x=y=1 (thỏa mãn điều kiện )
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 8 2017
Lời giải:
Ta có:
\(f'(x)=3x^2+2(a-1)x+2\)
Theo định lý về dấu của tam thức bậc 2, để \(f'(x)>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\) thì \(\Delta'=(a-1)^2-6<0\)
\(\Leftrightarrow -\sqrt{6}< a-1< \sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow 1-\sqrt{6}< a< 1+\sqrt{6}\)
Đáp án B
2 tháng 12 2018
Ta có \(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{a+b+1}{ab}=1+\dfrac{1+1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Áp dụng bđt cosi ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{2}{ab}\ge8\Leftrightarrow1+\dfrac{2}{ab}\ge9\Leftrightarrow A\ge9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b=0,5\)
Vậy GTNN của A là 9 và xảy ra khi a=b=0,5
MS
2 tháng 12 2018
\(A=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(A=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{ab}\)
\(A=1+\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{1}{ab}\)
Mà a+b=1
nên \(A=1+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}=1+\dfrac{2}{ab}\)
Ta có:
a+b=1
Áp dụng bđt Cosi
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{4}\)
Ta có:
\(A=1+\dfrac{2}{ab}\ge1+\dfrac{\dfrac{2}{1}}{4}=1+8=9\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\) \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2020
\(A=\frac{\left(x+4\right)-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{4x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\)
\(A_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=4\)
\(B=\frac{x+3+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\ge\frac{2\sqrt{3x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2\sqrt{3}+2\)
\(B_{min}=2\sqrt{3}+2\) khi \(x=3\)
Xem lại đề câu C, với \(x>0\) thì \(C_{min}\) ko tồn tại
GJ
4 tháng 8 2020
Bạn ơi cho mình hỏi tại sao \(\frac{\left(x+4\right)-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)lại lớn hơn hoặc bằng \(\frac{2\sqrt{4x}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)vậy ạ?
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\((a+b)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(a+b)}\)
\((b+c)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(b+c)}\)
\((c+a)+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}(c+a)}\)
Cộng theo vế và thu gọn:
\(\Rightarrow 2(a+b+c)+4\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow 6\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}}(\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a})\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{18}\geq \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
T
16 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{bc}{a+b}}.\sqrt{\frac{bc}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right)\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi rút gọn ta được \(VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1/3
Bình phương 2 vế ta có:
\(a+1+2\sqrt{a}>a+1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a}>0\left(true\right)\)
\(\Rightarrow Q.E.D\)
Bình phương 2 vế ta có :
\(a-1-2\sqrt{a}>a-1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a}>0\)(đúng với \(\forall\)\(a\))
Vậy \(\sqrt{a}+1>\sqrt{a+1}\)