\(\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}\)+\(\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}\)+\(\frac{c^2}{c^2+ac+a^2}\)≥1 với mọi a;b;c là các số thực dương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2022
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Nhân phá và rút gọn 2 vế:
\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)
Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 2 2020
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+2=\frac{1}{abc}\)
Đặt \(\left(\frac{a}{bc};\frac{b}{ac};\frac{c}{ab}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z+2=xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{c+ca}+\frac{c}{c+ab}=2\)
24 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+2=\frac{1}{abc}\)
Đặt : \(\left(\frac{a}{bc};\frac{b}{ac};\frac{c}{ab}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z+2=xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\left(z+1\right)+\left(z+1\right)\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+1=1\)
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}=2\)
Trước hết ta chứng minh BĐT Vasc sau:
Cho các số thực dương a;b;c thỏa mãn \(abc=1\) thì:
\(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
Thật vậy, do \(abc=1\) nên tồn tại \(x;y;z\) sao cho \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\)
BĐT trở thành: \(\sum\frac{1}{\frac{y^2z^2}{x^4}+\frac{yz}{x^2}+1}\ge1\Leftrightarrow\sum\frac{x^4}{y^2z^2+x^2yz+x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4}\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\ge\sum x^2y^2+\sum x^2yz+\sum x^4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên luôn đúng (theo dạng quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\))
Vậy BĐT được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng cho bài toán:
\(VT=\sum\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}=\sum\frac{1}{\left(\frac{b}{a}\right)^2+\frac{b}{a}+1}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x\\\frac{c}{b}=y\\\frac{a}{c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz=1\)
\(\Rightarrow VT=\sum\frac{1}{x^2+x+1}\ge1\) theo Vasc
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c\)
đúng 1000% nha