Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh:
a2010 + b2010 + c2010> a1005b1005 + a1005c1005 + c1005b1005
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NP
0
TS
2
18 tháng 8 2018
\(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)( luôn đúng )
Vậy ...
18 tháng 8 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+1>a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+1-a-b-c>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2.a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2-2.b.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2-2.c.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)
Ta thấy: (a-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi a)
(b-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi b)
(c-1/2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 (với mọi c)
1/4 > 0
Nên BĐT luôn đúng
=> ĐPCM
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
Ta có \(\left(a^{1005}-b^{1005}\right)^2+\left(b^{1005}-c^{1005}\right)^2+\left(c^{1005}-a^{1005}\right)^2>0\Leftrightarrow a^{2010}-2a^{1005}b^{1005}+b^{2010}+b^{2010}-2b^{1005}c^{1005}+c^{2010}+c^{2010}-2a^{1005}c^{1005}+a^{1005}>0\Leftrightarrow2\left(a^{2010}+b^{2010}+c^{2010}\right)-2\left(a^{1005}b^{1005}+a^{1005}c^{1005}+c^{1005}b^{1005}\right)>0\Leftrightarrow a^{2010}+b^{2010}+c^{2010}>a^{1005}b^{1005}+a^{1005}c^{1005}+c^{1005}b^{1005}\)(đpcm)
0