\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{x+1}\)\(\ge1\)với xy=1 và x,y>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 9 2020
\(\frac{x^3}{y+1}+\frac{y+1}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(y+1\right)}{8\left(y+1\right)}}=\frac{3}{2}x\)
Tương tự: \(\frac{y^3}{x+1}+\frac{x+1}{4}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}y\)
Cộng vế với vế:
\(B+\frac{x+y+2}{4}+1\ge\frac{3}{2}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{5}{4}\left(x+y\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{5}{4}.2\sqrt{xy}-\frac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
19 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)
Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)
19 tháng 8 2016
Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
26 tháng 10 2020
Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)
\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)
Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{\left(y+1\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
Tương tự với phân thức kia.Ta có:
\(VT=\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{x+1}=\left(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\right)+\left(\frac{y^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\right)-\left(\frac{x+y+2}{4}\right)\) (Áp dụng cái BĐT bên trên vào,ta có:)
\(\ge x+y-\frac{x+y+2}{4}=\frac{3\left(x+y\right)-2}{4}\ge\frac{3.2.\sqrt{xy}-2}{4}=\frac{6-2}{4}=1^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
P/s: Đúng không ta?Em mới lớp 7 thôi ạ!