Cho \(0< a\le\frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S=2a+\frac{1}{a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 3 2019
\(S=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8a^2}\ge\frac{3}{2}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
\(\Rightarrow S_{min}=5\) khi \(a=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 3 2019
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{8a^2}\\a=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
D
16 tháng 11 2018
\(2a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{b^2}{4}=4\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}-2\right)+\left(a^2+\frac{b^2}{4}-ab\right)=4-ab-2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=2-ab\)
\(VF=2-ab=\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+\left(b-\frac{b}{2}\right)^2\ge0\)
Hay \(ab\le2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{a}\\b=\frac{b}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a;b\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)\\\left(a;b\right)=\left(-1;-\frac{1}{2}\right)\end{cases}}\)
VT
22 tháng 9 2017
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
VT
22 tháng 9 2017
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
ML
3 tháng 8 2016
C1: Áp dụng bđt Côsi:
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
PN
3 tháng 8 2016
Đề: Cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) . Hãy tìm GTNN của \(B=2a+\frac{1}{a^2}\)
\(------------\)
Ta có:
\(B=2a+\frac{1}{a^2}=\left(a+a+\frac{1}{8a^2}\right)+\frac{7}{8a^2}\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho bộ số có ba số thực không âm gồm \(\left(a;a;\frac{1}{8a^2}\right)\) (theo gt)
nên do đó, ta có thể thiết lập bđt đối với biểu thức \(B\) như sau:
\(B\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8a^2}=1\frac{1}{2}+\frac{7}{8a^2}\)
Kết hợp với điều kiện đã cho \(0< a\le\frac{1}{2}\) , ta suy ra được \(\frac{7}{8a^2}\ge\frac{7}{8\left(\frac{1}{2}\right)^2}=3\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B\ge1\frac{1}{2}+3\frac{1}{2}=5\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=\frac{1}{2}\)
Vậy, \(B_{min}=5\) khi \(a=\frac{1}{2}\)
LT
1
KN
18 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 3 số dương, ta được: \(S=2a+\frac{1}{a^2}=\left(\frac{1}{a^2}+8a+8a\right)-14a\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2}.8a.8a}-14.\frac{1}{2}=5\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2
DT
28 tháng 3 2018
Dùng Cô-si ngược dấu:
Ta có : a\(1+b^2)=a-(ab^2/(1+b^2))>=a-(ab^2/2b)=...
Tương tự ta có:b/(1+c^2)>=b-bc/2
c/(1+a^2)>=c-ac/2
Cộng vế với vế ta có A>=(a+b+c)-(ab+bc+ca)/2
Mà 3(ab+bc+ca)<=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
<=>3(ab+bc+ca)<=(a+b+c)^2
<=>-(ab+bc+ca)>=-(a+b+c)^2/3
Thay vào ta có: A>=(a+b+c)-(a+b+c)^2/6=3/2
Dấu = xảy ra<=>a=b=c=1/3
Ta có:\(S=2a+\frac{1}{a^2}\)
\(A=8a+8a+\frac{1}{a^2}-14a\)
\(A\ge3\sqrt[3]{8a\cdot8a\cdot\frac{1}{a^2}}-14\cdot\frac{1}{2}\)
\(A\ge14-7=5\)
"="<=>a=1/2