Question

[Nhóc Bin]

Cho a,b,c >0. Chứng minh: \(\frac{a^8 +b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :

\(a^8+b^8+c^8\ge a^3b^3c^3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\ge a^3b^3c^3.\frac{ab+bc+ac}{abc}=a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\left(1\right)\)

Vì a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\) , ta có :

\(a^8+b^8+c^8\ge a^4b^4+b^4c^4+a^4c^4\ge a^2b^2.b^2c^2+b^2c^2.c^2a^2+a^2b^2.c^2a^2=a^2c^2b^4+a^2b^2c^4+a^4b^2c^2\)

\(=\left(abc^2\right)^2+\left(bca^2\right)^2+\left(acb^2\right)^2\ge abc^2.bca^2+bca^2.acb^2+abc^2.acb^2=a^3b^2c^3+b^3a^3c^2+c^3b^3a^2\)

\(=a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)

Nên : \(a^8+b^8+c^8\ge a^2b^2c^2\left(ab+bc+ac\right)\)

=> BĐT được c/m ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng

=> ĐPCM

Answer 2

[Nguyễn Thành Trương]

Ta có:

\(\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)(*)\)

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\left\{\begin{matrix} a^8+b^8\geq 2a^4b^4\\ b^8+c^8\geq 2b^4c^4\\ c^8+a^8\geq 2c^4a^4\end{matrix}\right.\Rightarrow a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\)

Tiếp tục áp dụng AM - GM:

\(a^8+b^8+a^4b^4+c^8\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{12}c^8}=4a^3b^3c^2\)

\(b^8+c^8+b^4c^4+a^8\geq 4b^3c^3a^2\)

\(c^8+a^8+c^4a^4+b^8\geq 4c^3a^3b^2\)

Cộng lại: \(3(a^8+b^8+c^8)+(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ca)\)

Mà \(a^8+b^8+c^8\geq a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\Rightarrow 4(a^8+b^8+c^8)\geq 4a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\)

hay \(a^8+b^8+c^8\geq a^2b^2c^2(ab+bc+ac)\Rightarrow (*)\) (đúng)

Ta có đpcm